PAR BONDS SUCCESSIFS      




Où l'on découvre que dans le monde quantique l'énergie ne varie pas de façon continue mais bien par seuils successifs


Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Nous avons vu que pour représenter l'atome d'hydrogène en mécanique quantique il suffisait d'écrire sous la forme  1 / r  le terme d'énergie potentielle de l'équation de Schrödinger. La suite est banale pour le physicien : il lui faut résoudre l'équation posée, c'est-à-dire trouver la valeur de la fonction d'onde en tout point de l'espace et du temps. Si on veut se convaincre du caractère mathématique et formel de ce que traite le physicien, on pourra consulter par curiosité la façon d'obtenir les solutions, que l'on décompose ordinairement en une partie angulaire et une partie radiale.

Le trait principal du problème tient en ce qu'il existe plusieurs solutions, qui se répartissent en outre, là est la nouveauté par rapport à la mécanique classique, de façon discrète, c'est-à-dire non continue, selon un spectre de valeurs. Le passage, possible, d'une solution à l'autre ne peut donc pas procéder de façon progressive et exige de la part de l'électron d'effectuer une sorte de « bond » (si on peut dire).

Cette propriété capitale, au point de mériter les tentatives d'explication qui vont suivre, a donné son nom de « quantique » à la mécanique de l'extrêmement petit, le qualificatif « quantique » venant du mot latin quantum signifiant quantité et exprimant que certaines grandeurs physiques, notamment l'énergie totale, ne sont susceptibles de varier que par quantités finies, par bonds successifs. Cela leur interdit notamment de pouvoir être divisées arbitrairement sur une échelle continue jusqu'à atteindre des dimensions aussi petites qu'on le désirerait. On dira ainsi que les variations d'énergie sont quantifiées ou encore que l'énergie elle-même est quantifiée.

Mais quelle est donc la nature de cette quantification, à la fois si fondamentale et si mystérieuse ?

Avouons tout de suite qu'elle ne peut pas s'expliquer en termes de physique ordinaire, c'est-à-dire en termes d'une physique fondée sur des concepts concrets et possédant de ce fait un caractère raisonnable. La quantification ne relève pas de ce bon sens que nous enseignent les phénomènes macroscopiques accessibles à notre expérience quotidienne. De ce point de vue, il me semble qu'il faut accepter de reconnaître que la quantification (comme d'ailleurs d'autres résultats « étranges » de la mécanique du microcosme) demeure proprement incompréhensible. Incroyable mais vraie, si l'on veut. Elle n'acquiert de sens que dans le cadre d'une autre théorie, dont nous essayons précisément de parler. Cependant comme cette théorie possède un caractère largement arbitraire et qu'elle ne s'appuie sur aucun des modes de pensée relatifs aux objets que côtoie l'être humain, la quantification ne peut que demeurer étrangère à notre monde habituel.

Et là réside la difficulté : le fait que nous puissions déduire ces phénomènes de façon logique, avec même toute la rigueur de l'appareil mathématique, n'entraîne pas que nous puissions les comprendre selon des critère familiers.

« [...] Comprendre, ce n'est pas forcément expliquer », a dit encore Françoise Mallet-Joris (Lettre à moi-même, Éditions J'ai Lu, 1971, p. 76).

Quelle est donc l'origine de cette quantification ?

L'idée clef a été exprimée plus haut : c'est celle selon laquelle la fonction d'onde est à déterminer dans tout l'espace à la fois (ne considérons que la partie spatiale de la fonction d'onde), non pas comme si nous suivions un mobile point par point le long d'une trajectoire mais en envisageant au contraire toute la trajectoire d'un coup, et même tout un faisceau de trajectoires à la fois.

Il existe deux sortes de conditions bien distinctes auxquelles doit satisfaire la fonction à déterminer : les conditions locales d'une part et les conditions globales d'autre part.

L'équation de Schrödinger est par sa forme une équation qualifiée de différentielle. Cela signifie qu'elle détermine la fonction localement, au voisinage immédiat du point où elle est écrite. Elle permet de calculer de proche en proche les valeurs de la fonction inconnue, par « différences » successives (d'où le terme « différentielle ») : les connaissant en un point elle les donnera au point voisin et ainsi de suite.

Mais l'équation elle-même ignore ce qui se passe plus loin en d'autres points.

Les exemples d'équations différentielles sont légion en physique. Ainsi le mouvement d'une balle de ping-pong est-il gouverné par l'équation de la dynamique, qui permet de prévoir à partir de la vitesse en un point (et connaissant les forces qui agissent sur la balle) la vitesse aux points immédiatement voisins. La trajectoire est ainsi construite par degrés conjoints successifs.

Il faut noter que l'équation en tant que telle ne contient aucun terme qui traduise le fait que la balle (dans le jeu de ping-pong) va plus tard rencontrer la table et passer au-dessus du filet. Autrement dit aucun terme dans l'équation n'évoque la présence de la table. D'ailleurs, que cette dernière soit présente ou absente, le mouvement sera localement le même.

Voilà pour les conditions locales.

Le problème du ping-pong, comme celui de l'atome d'hydrogène, fait également intervenir des conditions qui concernent la situation dans son ensemble. Il s'agit là de faire passer la balle par-dessus le filet et de toucher la table du côté adverse. Il est donc nécessaire d'ajuster le tir, c'est-à-dire de coordonner la force avec laquelle frapper la balle et la direction de l'envoi. En conséquence seules certaines conditions initiales - conditions qui déterminent la trajectoire ultérieure - vont répondre aux critères que nous voulons voir satisfaits (autrement dit aux règles du jeu). Par conséquent, parmi toutes les solutions possibles, contenues en puissance dans l'équation différentielle locale du mouvement, seules vont se voir retenues celles qui appartiennent à une certaine classe.

Ce choix parmi un ensemble de solutions satisfaisant à l'équation locale, choix imposé par des conditions globales, est la base du phénomène de quantification.

Encore un petit effort : qu'en est-il du problème spécifique à l'atome d'hydrogène ?

Nous avons déjà mentionné une condition globale à laquelle est soumise la solution, la symétrie par rapport à l'origine. Inutile d'y revenir. Ayant retenu au départ les seules solutions symétriques, voyons comment peut se percevoir la condition de quantification.

Partons de l'« infini », mathématiquement s'entend, c'est-à-dire physiquement de suffisamment loin du noyau de l'atome d'hydrogène pour que son effet ne se fasse plus sentir. Nous nous donnons à l'infini une certaine condition initiale, par exemple la forme de la variation de la fonction (on parle de « comportement asymptotique »). Nous pourrons alors, grâce à l'équation de Schrödinger, calculer la solution à distance finie, de proche en proche. Nous le ferons automatiquement, simplement, et sans savoir où se trouve le proton central (comme la balle ignorait où se situait la table).

Lorsque nous rencontrerons cette particule centrale, c'est-à-dire lorsque le fameux potentiel coulombien fera sentir son effet, le calcul de la solution, toujours de proche en proche, se poursuivra en tenant compte des conditions nouvelles. Seulement voilà : il faudra, sous peine d'être rejetée, que la solution arrive au centre de la configuration avec de « bonnes » valeurs, c'est-à-dire essentiellement sans conduire à des quantités physiques infinies et, de ce fait, inacceptables.

Autrement dit, toutes les solutions potentielles de l'équation locale de Schrödinger ne pourront pas être retenues dans la réalité. Il faudra, comme au ping-pong, admettre une certaine « règle du jeu » et n'accepter que les solutions régulières, celles qui restent finies et satisfont aux exigences des conditions aux limites, des conditions initiales et des conditions de symétries.

C'est cela la quantification du système de l'atome d'hydrogène : un phénomène équivalant à une condition d'ajustement, de compatibilité, d'adaptation.

Pour ceux que de petits calculs ne rebutent pas, le raisonnement précédent sur le comportement des solutions de l'équation de Schrödinger est développé numériquement dans une annexe où on apprend à calculer « à la main » les niveaux d'énergie (discrets) de l'atome d'hydrogène.

Tout ce formalisme peut sembler délirant. Concrètement, à quoi sert la mécanique quantique ?


Version revue, corrigée et enrichie
du livre de Christian Magnan
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 7 mai 2005


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