DES NOMBRES !      




Les nombres qui caractérisent et mesurent le monde atomique nous permettent de faire le lien entre la théorie et le réel. Combien valent-ils ?


Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Sans mesure, sans nombre, la physique n'existe pas. Le chapitre de la mécanique atomique ne fait pas exception. Quelles sont les valeurs numériques qui caractérisent l'échelle atomique ?

Le nombre essentiel de la mécanique quantique, celui qui permet de jauger les phénomènes du monde de l'atome, s'appelle la constante de Planck h. C'est un détail sans importance mais j'utiliserai pour la simplicité de l'écriture la constante de Planck divisée par 2 , nombre qui vaut 1,055×10-27 lorsqu'on exprime les longueurs en centimètres, les durées en secondes et les masses en grammes (c'est le système préféré des astrophysiciens) et se note   , qu'on lit « h barre ».

D'où sort ce nombre ?

La réponse à cette question est pour moi lourde de sens, je dirai après pourquoi : les valeurs des constantes numériques rencontrées en physique, que ce soit la masse du proton, la masse de l'électron, la valeur de la constante d'attraction universelle, la charge de l'électron, la constante de Boltzmann ou la constante de Planck, etc, ne sont pas déductibles de la théorie.

Pour la théorie, les valeurs numériques des constantes physiques se révèlent tout à fait arbitraires, en ce sens qu'elles ne peuvent se déduire d'aucune formule ni se calculer à l'aide d'aucun algorithme. C'est le cas inverse qui se produit pour les nombres mathématiques tel que pi ( = 3,14159...) ou e (2,71828...). Ces derniers peuvent se fabriquer à l'aide de programmes convenables sur ordinateur. Autrement dit on peut calculer (déduire du calcul) la valeur de ces nombres mathématiques.

En physique la question «pourquoi telles constantes, celles que nous connaissons, et pas d'autres ? » demeure sans réponse, comme l'une des énigmes les plus indéchiffrables. Énigme que les physiciens voudraient bien résoudre, avides qu'ils sont de « tout » déduire, tout et y compris les valeurs de ces fameuses constantes physiques, de principes simples et élémentaires - certains sont assez fous pour parler d'une équation « ultime » qui règlerait définitivement le « problème ».

Or pour l'heure force est d'accepter ces valeurs numériques comme des données, au sens le plus fort de ce terme, c'est-à-dire comme des quantités données par l'expérience, fournies par le monde extérieur, communiquées par le réel et n'ayant pas le moindre lien avec quelque théorie que ce soit. Rien n'impose ces valeurs plutôt que d'autres (contrairement à ce qu'affirment certains sur la base d'arguments spécieux). Nous ne pouvons que les lire dans le monde, non les inventer ou fabriquer de toutes pièces. Elles apparaissent ainsi comme le fruit d'un hasard ou d'un caprice, au sens où elles semblent extérieures à toute nécessité.

Un tel constat donne à réfléchir car il met directement en cause une science qui se targuerait de tout prévoir, de tout savoir, de tout dominer et qui doit au contraire accepter cette leçon d'humilité : savoir recevoir du monde réel ce qu'elle ne peut trouver toute seule.

Je ferme la parenthèse.

La constante de Planck permet d'estimer les ordres de grandeur des phénomènes quantiques. J'ai parlé plus haut du terme de l'équation de Schrödinger qui correspondait (sans lui être identique) à l'énergie cinétique classique d'une particule, le fameux ½ m v 2. Mais sans entrer dans les détails de la correspondance que la théorie établit entre le terme mathématique et la grandeur physique, je me contenterai de préciser les nombres que ce rapport implique.

Il nous suffira de savoir que la mécanique quantique associe dans ses équations une certaine longueur à l'énergie cinétique. On pourra s'étonner à bon droit de cette façon de procéder mais c'est « comme ça » : il faut accepter ces règles arbitraires qui établissent une correspondance non immédiate entre le monde réel et celui du symbole.

Plutôt que d'échelle de longueur nous parlerons d'ailleurs de longueur d'onde (pour évoquer notre fameuse fonction d'onde), mais la nuance est secondaire.

La règle donnant la longueur d'onde associée à l'énergie d'une particule de masse  m  est si simple que je me permets de la donner afin que chacun puisse à l'occasion refaire à l'aide d'une simple calculette les quelques « vrais » calculs de mécanique quantique indiqués dans les pages de ce site. Le carré   2  de la longueur d'onde    recherchée est fourni par la formule

  2  =  2 /(2m E )

m est la masse de la particule et E son énergie.

Cette formule ainsi que d'autres aussi utiles sont indiquées dans une annexe.

La relation écrite à l'instant entre énergie cinétique et longueur d'onde va nous fournir un moyen d'expliquer en termes plus physiques la stabilité de l'atome d'hydrogène, phénomène que nous avons présenté comme le grand succès de la mécanique quantique face à une physique classique qui avait déclaré forfait. L'explication n'est pas à prendre au pied de la lettre - puisque les concepts de la physique classique ne sont pas les mêmes que ceux de la mécanique quantique - mais plutôt comme le résumé mnémotechnique d'un calcul abstrait.

Ces précautions oratoires étant prises (!) nous dirons qu'en lisant la relation énergie-longueur d'onde en sens inverse nous pouvons associer à une longueur une certaine énergie (à savoir  E =  2 / 2m  2 ).

En termes encore plus concrets on peut retenir que si on maintient un système confiné dans un certain espace il va se manifester corrélativement une certaine énergie de « mouvement », d'origine purement quantique, qui s'opposera à ce confinement.

C'est précisément ce qui se passe (nous revenons à notre atome d'hydrogène) pour l'électron qui gravite autour du proton : l'électron résiste à l'emprisonnement et ce d'autant plus que le confinement s'accentue puisque, la formule le montre, plus la longueur attribuée à l'électron est petite, plus l'énergie est grande.

Ces circonstances fournissent à l'électron la possibilité de trouver une position d'équilibre là où l'énergie d'agitation quantique compense, équilibre, l'énergie d'attraction électrique proton-électron.

Qui plus est, l'équilibre est stable. S'il ne l'était pas, il ne pourrait pas se réaliser en pratique et serait par conséquent insuffisant pour expliquer l'équilibre constaté de l'atome d'hydrogène.

Il est stable car si l'électron vient à se rapprocher du noyau les deux forces, la répulsive (quantique) et l'attractive (électrique) augmentent toutes deux mais la première plus vite que la seconde (la force électrique est en r-2, la force quantique est en r-3). Par conséquent l'électron qui s'était rapproché du noyau s'en verra repoussé.

Le résultat est symétrique dans l'autre sens : si l'électron s'éloigne de la position d'équilibre il y est ramené par une force attractive (dans ce cas les forces décroissent et la force répulsive décroît plus vite).

Terminons par des nombres. On connaît expérimentalement l'énergie qu'il faut dépenser pour détacher l'électron du noyau, elle vaut 2,18×10-11 erg. On l'appelle l'énergie de dissociation de l'atome d'hydrogène. Par notre jeu de correspondances, nous pouvons associer à cette énergie une longueur (par la formule ci-dessus) en prenant pour la masse de l'électron la valeur 9,11×10-28 gramme. Nous trouvons 0,53×10-8 centimètre ou 0,53 Å.

Ce dernier nombre donne l'ordre de grandeur correct des dimensions de l'atome d'hydrogène (une taille atomique se mesure donc en angstroms), dimensions rendues en quelque sorte équivalentes par la mécanique quantique à l'énergie de l'atome... Quel succès donc de déduire la dimension de l'atome de son énergie de liaison ! Mais quelle nouveauté aussi dans le mode d'appréhension du monde physique : assimiler une énergie à une dimension spatiale !

Pourtant cette correspondance énergie-longueur est bel et bien réelle et il est intéressant d'aller la frotter, justement, à la réalité des choses.


Version revue, corrigée et enrichie
du livre de Christian Magnan
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 9 mai 2005


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