COMMENT S'EXPRIME UN RÉSULTAT DE MESURE ?



Une mesure se traduit nécessairement par un nombre. Celui-ci, en physique, ne comporte que quelques chiffres significatifs.

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Obtenir un résultat de mesure est l'aboutissement d'un long cheminement.

Au départ, le scientifique se sert de théories. Constructions logiques fondées sur des principes et des idées, ces théories utilisent le langage formel des mathématiques. Elles consistent toujours à écrire, développer et résoudre des équations. Ces dernières traduisent des relations entre nombres, même si elles ne les explicitent pas. Le formalisme mathématique permet en effet de traiter non pas les nombres eux-mêmes mais des images symboliques de ces nombres, chaque symbole représentant à lui seul l'ensemble des valeurs numériques potentielles que peut prendre la quantité désignée. Ce formalisme, dans son aspect préliminaire, peut fort bien contenir des quantités purement abstraites, par exemple des nombres « imaginaires », des vecteurs, des tenseurs et autres personnages du bestiaire mathématique.

En revanche, dans la phase expérimentale qui suit le développement de la théorie et au cours de laquelle s'établit le contact avec la réalité, la grandeur physique étudiée deviendra grandeur mesurée pour se traduire concrètement par un nombre, fruit ultime du rapport entre la théorie et le réel. Cette règle ne souffre pas la moindre exception. Une théorie physique, sous peine de stérilité et d'inadéquation au monde qu'elle cherche à comprendre, doit toujours se traduire par une expérience concrète, laquelle consiste toujours à effectuer une ou plusieurs mesures. Et une mesure fournit comme résultat un nombre. De l'autre côté, ce n'est que lorsque les hommes ont traduit en nombres leurs observations que celles-ci, auparavant muettes, ont permis à la science de naître. La conclusion est à conserver précieusement en mémoire : sans le quantitatif, sans la mesure, sans le nombre, la découverte du monde réel est impossible.

Examinons maintenant ces nombres, en nous attardant sur leur partie décimale. On sait qu'un nombre décimal est une suite de chiffres dans laquelle se distingue un signe particulier, la virgule (ou le point, en notation anglo-saxonne), signe qui, servant de repère, permet d'assigner un rang à chacun de ces chiffres. En oubliant les zéros les plus à gauche qui ne servent qu'à indiquer le rang du premier chiffre non nul (comme les premiers "0" de 0,0000637), arrêtons-nous à la suite des chiffres significatifs elle-même, qui porte le nom de « mantisse ». Observons une différence essentielle entre les nombres des physiciens et les nombres des mathématiciens. Alors qu'en mathématiques le nombre de chiffres composant cette mantisse est souvent illimité (par exemple 0,657657657... avec les mêmes chiffres répétés à l'infini; ou encore la suite infinie 1,414213... représentant la racine carrée de 2), en physique il est toujours restreint. Pour fixer les idées, le nombre de chiffres utiles, ou significatifs, d'un nombre physique est en général limité à 6 ou 7. Seuls ces quelques chiffres veulent dire quelque chose, mesurent quelque chose : au-delà, la précision que d'autres prétendraient apporter serait illusoire.

Que traduit cette limitation ? Tout nombre physique est entaché d'une certaine erreur qui interdit de lui assigner une valeur parfaitement (c'est-à-dire mathématiquement) déterminée. La seule chose que l'on puisse dire, c'est que le nombre cherché se situe dans une certaine fourchette de valeurs. Mais, à l'intérieur de cette fourchette il est absolument impossible de préciser où il se trouve exactement car la notion de perfection absolue est étrangère au réel. Par conséquent, il est impossible d'exprimer un résultat de mesure à l'aide d'un seul nombre. En principe, la seule façon correcte de procéder serait d'indiquer l'intervalle limité (mais non nul) dans lequel le nombre est censé se trouver. Pour ce faire il est nécessaire de donner la borne inférieure et supérieure de l'intervalle, ou encore sa position et son étendue, ce qui implique l'usage de deux nombres et non d'un seul.

Cette remarque d'apparence anodine est d'une portée considérable et pourrait peut-être, si on la poussait jusqu'à son terme, révolutionner la physique moderne. Laurent NOTTALE a jeté les bases d'une théorie nouvelle qui semble extrêmement féconde en refusant de considérer une grandeur dans l'absolu et en incluant au contraire au tout début de l'analyse la résolution avec laquelle la quantité est définie. C'est dire le caractère essentiel de l'« échelle » à laquelle une grandeur est attachée. La théorie de Laurent Nottale porte d'ailleurs le nom de « relativité d'échelle ».

Si la résolution avec laquelle telle grandeur physique est connue (et connaissable) est en principe indispensable à préciser, en pratique c'est justement le caractère limité du nombre de chiffres significatifs utilisés qui signalera d'elle-même, et d'une façon commode, la marge d'erreur existante. Prenons un exemple. Si la masse de l'électron est donnée par la séquence 9,109 3897 (sans préciser ici l'unité choisie, car c'est sans importance pour notre propos) cela implique que les chiffres situés au-delà de ces huit premiers sont indéterminés. D'après le document que j'ai consulté pour donner cette valeur numérique, une incertitude de 54 unités règnerait sur le dernier chiffre. Cela veut dire que les trois derniers chiffres ne sont pas exactement 897 mais sont quelque part entre (897-54=843) et (897+54=951). La masse de l'électron est donc comprise (toujours dans les mêmes unités) entre 9,109 3843 et 9,109 3951 sans qu'il soit possible de savoir où elle se situe réellement.

Je pense d'ailleurs que l'expression « se situer réellement » n'a même pas de sens. Selon la thèse que je défends, la masse (et le raisonnement serait valable pour tout autre grandeur physique) symbolique de nos équations n'a pas de raison de se retrouver à l'identique dans la nature avec une valeur numérique parfaitement définie. Nous allons voir que l'incertitude régnant sur la mesure montre que la nature ne se laisse pas si facilement réduire à nos modèles.




Version revue, corrigée et enrichie
du livre de Christian Magnan

La nature sans foi ni loi
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 8 mars 2005


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