DES NOMBRES DÉPASSANT L'ÉCHELLE PHYSIQUE



On peut concevoir en mathématiques des nombres gigantesques, notamment quand on calcule des probabilités. La fameuse histoire du singe au clavier d'une machine à écrire en est l'illustration. Cependant de tels nombres sortent du domaine de la réalité.

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Un résultat résume bien la situation concernant l'échelle du monde physique : quand on les représente sous forme de puissances de 10, les nombres que les physiciens manipulent ont des exposants se situant, grosso modo, entre -100 et +100. Autrement dit ces exposants comportent seulement deux chiffres[1]. Par exemple le nombre d'atomes dans l'Univers visible est de l'ordre de 1080 et le plus petit temps imaginable (ou temps de Planck) vaut 5×10-44 seconde.

Ce trait de l'échelle physique, de s'étendre sur deux centaines de puissances de 10 successives, alors que, nous l'avons vu, l'échelle mathématique est infinie, a une conséquence importante : certains nombres fabriqués par notre raisonnement, comme ceux déduits par exemple d'une formule décrivant une expérience imaginaire, sont à même de dépasser l'échelle pratique et de la dépasser tellement qu'ils ne peuvent plus s'appliquer à rien de réel. Dans ce cas, le danger existe d'identifier l'une à l'autre les deux échelles juxtaposées : l'échelle mathématique et l'échelle physique réelle. Je parle de « danger » de confusion car des conclusions relatives au monde mathématique peuvent se révéler totalement fausses dans le monde de la réalité et nous induire en erreur dans notre réflexion sur le rapport entre ce que nous calculons par notre esprit et ce à quoi nous l'appliquons. Par exemple des nombres obtenus comme solutions d'un problème imaginaire et qualifiés à juste titre d'incommensurables, physiquement, car n'ayant pas le moindre rapport avec un phénomène réel, sont transposés à tort par certains dans le monde existant.

Vous avez peut-être entendu parler de ce problème imaginaire[2] d'un singe tapant sur le clavier d'une machine à écrire de façon aléatoire. Or si tout le monde s'accorde pour considérer comme extrêmement faible les chances de réussite du singe, certains prétendent qu'à la longue l'animal serait « capable » de produire une oeuvre littéraire, par exemple celle de Victor Hugo. Je vais montrer ici que cette assertion est totalement fausse et qu'en réalité le singe n'a aucune chance de réussir.

Pour vous donner une idée de la situation réelle, allez donc voir des textes de la « bibliothèque de Babel » obtenus par frappe aléatoire. Parmi eux vous ne rencontrerez aucune suite de lettres ne représentant un vrai mot. Cet exemple peut nous faire réfléchir. Essayons donc de décortiquer le problème.

Considérons l'ensemble de tous les textes possibles comportant le nombre de signes voulu. Comme le singe tape au hasard, il est susceptible de produire l'un quelconque de ces textes, aucun texte n'ayant plus de chance de sortir qu'un autre, chacun étant aussi probable que les autres. Le problème revient alors à déterminer le nombre total de textes possibles, pour savoir parmi combien d'éventualités le hasard va opérer. Si n textes différents sont possibles, nous en déduirons que le singe a une chance sur n de produire un texte fixé à l'avance. Il est donc équivalent de raisonner sur le nombre total n de textes possibles (par exemple mille milliards) ou sur la probabilité d'obtention d'un texte particulier (à savoir 1/n, par exemple dans ce cas une chance sur mille milliards). Selon les besoins il sera plus commode de parler de l'une ou de l'autre quantité.

Calculons les nombres en cause. Pour fixer les idées, disons que la machine met à la disposition du singe 35 signes différents (en ajoutant aux 26 lettres de l'alphabet les signes de ponctuation, l'espace et les lettres accentuées). Dans ces conditions, parmi les 35 possibilités offertes, la probabilité de taper correctement la première lettre, mettons le « i » de « il était une fois », est de une chance sur trente-cinq, ou 1/35, ou encore 35-1, à la façon dont nous avons écrit ailleurs 1/10 sous la forme 10-1. La probabilité que notre singe obtienne du premier coup deux lettres justes, celles qui composent le mot « il », sera, elle, 35 fois plus faible. En effet, il s'agit de taper correctement la première, avec une chance sur 35, puis de taper correctement la seconde, avec une nouvelle fois une chance sur 35. Le résultat est une chance sur (35×35) ou 35-2. Ce qui se passe, c'est que le nombre de possibilités de textes de deux signes est passé de 35 (cas d'une lettre) à 35 fois 35 (ou 1 225). Ainsi on trouvera dans ces possibles les textes « ia », « ib », « ik »... « iz », parmi lesquels un seul, « il », « i » suivi de « l », conviendra.

La suite du calcul est facile à conduire : chaque fois qu'on considère une lettre de plus, le nombre de textes différents possibles est multiplié par 35. Partant, la probabilité d'obtention du texte juste en un essai est divisée par 35. Les valeurs numériques successives peuvent s'obtenir simplement sur une calculette. Il suffit de s'amuser à faire une série de divisions (ou de multiplications) successives par 35, en partant de 1. Faites l'expérience et vous constaterez que la probabilité décroît à un rythme incroyablement rapide tandis que le nombre de textes augmente terriblement vite. Pour l'obtention de seulement huit signes justes (par exemple : « il était »), la probabilité de réussite tombe à moins de 5×10-13 pour un nombre de textes différents de plus de 2×1012 : une chance sur quelques milliers de milliards.

Mathématiquement, l'opération revient tout simplement à calculer, pour la chance de réussite, les puissances négatives successives de 35, soit 35-1, 35-2, 35-3, etc., ou, pour le nombre de possibilités, les puissances positives successives, 351 (soit 35 tout court), 352, 353, etc.

Sur une calculette on peut calculer directement, sans passer par les termes qui la précède, la valeur relative au rang n (c'est-à-dire à un texte de n signes) en utilisant la fonction dite « exponentielle » notée en général yx. Dans le cas présent vous entrerez pour y la valeur 35 et pour x la valeur n (le nombre de signes du texte que le singe cherche à taper). Ainsi, pour le texte « il était une fois », de 17 signes (dont trois espaces), vous trouverez qu'il existe environ 2×1026 textes différents de 17 signes (autant que le nombre de secondes dans 5 milliards de milliards d'années...) de sorte que la probabilité de voir le singe taper du premier coup la phrase « il était une fois » est seulement de une chance sur ce nombre gigantesque de 26 chiffres, soit une chance quasi infinitésimale de 5×10-27.

Les calculs décrits nous font nous déplacer sur une échelle logarithmique. La différence, mineure, avec les logarithmes que nous avons présentés ailleurs concerne la « base » de l'échelle. Alors qu'il s'agissait des puissances[3] de 10, nous avons maintenant affaire aux puissances successives de 35, le nombre de signes différents sur le clavier. Mais les propriétés de l'échelle demeurent les mêmes. En particulier, comme les exposants que nous manipulons représentent le nombre de lettres à taper et qu'une simple ligne de texte ordinaire en comprend déjà quelque quatre-vingt, ces exposants vont pouvoir dépasser, et de loin, ceux de l'échelle réelle puisque ces derniers restent, nous l'avons rappelé au début, grosso modo inférieurs à 100[4]. Comme une page comptera des milliers de signes, qu'un livre avoisinera le million et que l'oeuvre d'un écrivain pourra compter des dizaines (ou centaines) de millions de signes, les nombres s'écrivant avec de tels exposants sortiront sans conteste possible (et de très loin !) du monde de la réalité.

L'erreur d'appréciation de la situation réelle, de la part de ces personnes qui surestiment la portée de la théorie, est liée à la facilité déroutante avec laquelle le symbolisme mathématique traite de tels nombres. Pouvoir écrire que la probabilité que le singe obtienne au hasard l'oeuvre de Victor Hugo est 35-10 000 000 est trompeur dans sa simplicité ! En effet, s'il faut saluer le mérite de cette science abstraite - la mathématique - de pouvoir si aisément calculer une telle quantité et de l'utiliser dans un raisonnement, il faut se garder de croire que le fait de l'avoir écrite lui donne d'office caractère de réalité. Si ces mathématiques peuvent jouer avec de tels nombres, en revanche, dans le monde réel, il est tout à fait impossible de s'en servir.

L'argument fallacieux souvent avancé par ceux que j'appellerais volontiers les « imposteurs du singe » est que la probabilité écrite, bien que faible, n'est pas nulle. Certes ! Mais on sait bien que la fonction exponentielle 10-n n'est jamais nulle mathématiquement parlant. Il n'y a donc pas lieu de s'extasier devant cette vérité tout simple et d'en tirer des conclusions abusives ! Ce truisme est sans conséquence sur la question de l'adéquation du nombre au réel car, s'il est trop petit, un nombre, même non nul, perd tout sens physique. Imposer tacitement l'idée que tout nombre, aussi petit soit-il, puisse exprimer un fait réel du moment qu'il n'est pas nul relève de la pure mystification.

La probabilité discutée (qu'un singe écrive au hasard un livre donné), du fait qu'elle sort de l'échelle des nombres expérimentaux, se comporte en pratique comme une probabilité complètement nulle. Entendons par là que l'événement considéré ne se produira jamais en pratique. Par conséquent, on ne peut pas se référer à cette expérience imaginaire pour en tirer des conclusions relatives au monde réel. Les récréations mathématiques n'ont pas forcément d'applications directes.

La science ne peut pas prétendre faire écrire au singe ce qu'il n'écrira jamais.

Pour aller rapidement à l'essentiel, je me suis placé dans le cas où le singe n'avait droit qu'à un seul essai. Mais, comme la probabilité de réussite est négligeable, les auteurs de l'expérience virtuelle sont inévitablement amenés à envisager de multiplier le nombre de singes et le nombre d'essais par singe. Hélas! cette technique ne peut rien changer au résultat, pour une raison toute simple. On comprend aisément que pour obtenir une chance non négligeable de réussite, il faut prévoir de produire en gros tous les textes théoriquement possibles. Autrement dit, il faut imaginer un nombre total d'essais du même ordre de grandeur que le nombre total de textes possibles[5]. Nous sommes donc confrontés à la même impossibilité de réaliser l'expérience en pratique puisque ce nombre, nous l'avons montré, dépasse la puissance du réel. Pour produire un total de 3510 000 000 frappes, il faudrait considérer des singes mathématiques qui n'auraient rien de physique avec notamment des capacités (relativement à la vitesse de frappe par exemple) qui transcenderaient tout ce qui concerne notre monde réel; sans compter la quantité de papier et les moyens d'impression nécessaires ! La conclusion concernant l'impossibilité radicale d'écrire un livre par hasard est donc toujours valable.

En fait, paradoxalement, ce sont les mêmes mathématiques qui à la fois ont imaginé une expérience et à la fois ont permis (à condition d'être correctement interprétées) de conclure à l'impossibilité de la réaliser en pratique.


La parabole du singe au clavier nous a montré que certains événements pouvaient avoir une probabilité d'occurrence si faible qu'ils ne possédaient aucune chance de se produire concrètement, le nombre d'essais nécessaires dépassant les possibilités réelles.
Et si l'apparition de la vie entrait dans cette catégorie de phénomènes ?


Poursuivre au deuxième chapitre


  1.  L'indication est donnée sans souci de précision et ne veut servir qu'à fixer les idées. Dans un calcul physique ou dans des théories très exotiques pourra apparaître exceptionnellement un exposant de trois chiffres, avec un nombre tel que 10120 par exemple.
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  2.   La parabole semble avoir été imaginée par Émile Borel et on trouve même sur le web une page recensant quelques textes faisant allusion à ces illustres singes.
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  3.  Que les non-spécialistes me pardonnent ! Je semble confondre, de façon peut-être abusive, les termes « logarithme » ou « puissance ». En réalité, ces deux termes sont inséparables l'un de l'autre. Quand on exprime un nombre sous forme de puissance (ou d'« exponentielle », c'est la même chose), l'exposant représente le logarithme de ce nombre. Autrement dit la fonction logarithme fait passer du nombre à l'exposant et la fonction exponentielle fait passer de l'exposant au nombre lui-même.
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  4.  Le fait que la base soit 35 au lieu de 10 ne joue pas et aggraverait même théoriquement la situation puisque pour passer de la base 35 à la base 10 il faut multiplier les exposants (ou logarithmes) par 1,5.
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  5.  Si on effectue autant d'essais que de textes possibles, la probabilité d'obtenir le bon texte est en gros de une chance sur deux : le calcul exact est présenté dans une annexe.
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Version revue, corrigée et enrichie
du livre de Christian Magnan

La nature sans foi ni loi
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 28 décembre 2010


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