LES OBJETS MATHÉMATIQUES SONT PUREMENT SYMBOLIQUES




La science manipule des symboles mathématiques. Mais ces objets abstraits ne sont pas réels.

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II

La physique fondamentale fait des mathématiques : c'est une banalité dont il faut se pénétrer lorsqu'on réfléchit au rapport qu'elle tente d'établir avec le monde. Dans ce domaine, faire des mathématiques, c'est introduire des grandeurs symboliques représentées par des variables (masse m, temps t, distance r, etc.), les combiner dans des formules, effectuer des calculs, résoudre des équations, trouver des liens, ou « lois », entre ces symboles et, finalement, faire des applications numériques en assignant des nombres aux symboles littéraux. C'est souvent aussi raisonner sur des figures géométriques comme par exemple des sphères. Or, à un premier niveau élémentaire mais néanmoins hautement significatif, il est facile de se convaincre que les éléments du langage mathématique n'appartiennent pas au monde réel.

Considérons les objets géométriques de base : points, droites, cercles, plans, sphères. Ces figures peuvent nous rappeler des objets concrets : un point serait la trace d'un crayon bien taillé sur le papier ; une droite, un fil tendu ; un cercle, une roue ; un plan, une table ; une sphère, une balle. Et d'ailleurs on se sert de ces figures géométriques pour « représenter » (ce qui ne veut pas dire reproduire exactement) des objets physiques. On dira qu'une masse est ponctuelle, que sa trajectoire est une droite ou un cercle. La Terre sera assimilée à une sphère. Pourtant aucun des objets géométriques n'existe pour de bon dans la nature.

Les objets mathématiques, géométriques dans notre exemple, sont d'un autre ordre que celui du concret. Ils possèdent notamment un caractère de perfection étranger au réel. Jamais dans la nature, nous le savons, nous ne découvrirons de « vraies » droites, comme nous dirions justement dans le langage courant, en sous-entendant qu'une droite, à proprement parler, cela n'existe pas : ce n'est pas vrai (réel). Une droite réelle aura forcément des « défauts » par rapport à la définition idéale. Un fil tendu ne sera jamais rigoureusement rectiligne. En plus il aura forcément une certaine épaisseur, contrairement à la droite qui n'en a pas. Voudrait-on d'ailleurs lui faire correspondre un cylindre ? C'est inutile. Un fil n'aura pas partout la même section, de sorte qu'un volume à la géométrie parfaite ne pourra jamais s'identifier à lui.

La question va au-delà de savoir si un objet réel constitue une plus ou moins bonne « approximation » d'un objet mathématique. Ce qui est fondamental, c'est la différence de nature. D'un côté un fil est un fil. Il peut se tendre, se couper, il est de telle couleur. On peut le toucher, s'en servir pour coudre ou, selon la matière, pour étendre le linge. De l'autre, une droite est une abstraction théorique, douée de propriétés différentes. Par exemple, deux droites se coupent en un point, ou sont parallèles entre elles. Une droite est « infinie ». L'ensemble des droites perpendiculaires à un axe en un point appartiennent à un même plan. Et ainsi de suite. Si, à un certain niveau les objets géométriques prétendent, à juste titre d'ailleurs, symboliser les réels, ils ne peuvent pas prétendre être réels. À partir du moment où on cherche à les représenter concrètement, on aboutira par exemple à un tracé de crayon ou d'encre sur du papier, ce qui est autre chose que le concept théorique. Ce n'est même plus une question de fidélité de reproduction.

La confusion entre symbole et objet concret est entretenue par le langage, c'est certain. Nous dirons facilement : « Traçons une droite », avec une règle et un crayon. Et nous dirons également, dans un raisonnement : «Considérons la droite D perpendiculaire au plan P. ». Or, le même mot, « droite », ne représente pas la même chose dans l'une et l'autre phrase. Si l'on tenait à marquer la différence au niveau du langage, il faudrait par exemple dire dans le premier cas « Tirons un trait droit » et réserver au mot « droite » l'usage mathématique. En pratique, cependant, il est impossible d'exiger du langage qu'il opère constamment une telle distinction, justement parce qu'il existe un rapport (mais certainement pas une identification) entre l'abstrait et le concret.

L'écart entre le symbolisme scientifique et le monde réel est manifeste en toute circonstance pour peu qu'on y prête attention. Repérable quand on traduit en langage concret une opération abstraite, il apparaît dès les premières conceptualisations exigées de l'écolier des classes primaires. Ainsi la phrase « Une poule pond 3,67 oeufs par jour » ne veut, à la limite, strictement rien dire ! Simplement une opération de division d'un certain nombre (d'oeufs !) par une autre nombre (de poules !) et par un troisième nombre (de jours !) aura donné 3,67. De même il ne faut pas sous-estimer (j'en ai fait l'expérience chez des enfants) le degré d'abstraction d'une simple opération comme 12 - 4 = 8 par rapport à un « problème » du type : « Un pommier porte 12 pommes, on en ôte 4, combien en reste-t-il ? ». La transposition d'un plan à l'autre est si peu évidente que des esprits auront du mal à passer de l'image concrète du pommier, avec son cadre de verdure, la couleur et la consistance de ses fruits, le danger de grimper dans l'arbre, etc., à la soustraction abstraite demandée. On conviendra surtout aisément que la scène champêtre n'est pas du même ordre que le processus opératoire agissant sur des nombres.

De même, un physicien, quel que soit le problème concret auquel il s'attelle, manipule en dernière analyse des équations et travaille donc sur des symboles. Exemple : ce physicien se penche sur le phénomène de gravitation et veut examiner le mouvement d'une planète soumise à la force d'attraction du Soleil. Il ne l'analyse pas « directement », par pure observation. Dans le concret de sa méthode, il résout l'équation :

m(dr/dt) = kr/r.

Mais que cette formule véritablement cabalistique soit la traduction scientifique de la question « Quel est le mouvement d'une planète autour du Soleil ? », à y réfléchir, n'est-ce pas étonnant ? La différence entre la course cosmique réelle du globe planétaire et l'équation algébrique couchée sur du papier n'est-elle pas troublante ?

À suivre




D'après un extrait du livre de Christian Magnan
Et Newton croqua la pomme...
Éditions Belfond/Sciences (1990)
Dernière modification : 11 mars 2011


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