COMMENT SAVOIR QUE NOTRE UNIVERS EST « COURBE » ?    




L'Univers contient tout l'espace. Il n'est donc pas possible de l'observer à distance. Cependant des mesures internes permettent de mettre en évidence une propriété intrinsèque que l'on appelle « courbure ».

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II




1. Un voyage de Magellan à travers l'espace

Nous vivons selon toute vraisemblance dans un univers de taille finie qu'il est possible de visiter dans son intégralité sans rencontrer nulle part de frontière. Nous disons que le monde est courbe et qu'il est fermé. Mais comment imaginer une telle structure ? Comment un volume fini peut-il être sans bord ? Que signifie ce concept étrange de « courbure » ?

La façon la plus simple d'expérimenter la nature d'un Univers fermé consiste à voyager dans l'espace en allant tout droit dans une même direction. Alors, tel le périple autour du monde ramenant Magellan à son port d'attache, notre croisière spatiale nous ferait revenir à notre point de départ. Nous l'aborderions toutefois par l'arrière alors que nous l'aurions quitté de l'avant.

L'expérience est parfaitement pertinente et atteint son but, de prouver que l'Univers est courbe. Toutefois pour illustrer l'aventure nous essayons à tort de nous en faire une image globale. Nous tentons d'imaginer une sorte de boule sphérique dont les bords seraient inaccessibles. Malheureusement la représentation est totalement inadéquate. D'une part une boule a un centre alors que notre Univers ne connaît pas de point particulier identifiable comme centre. D'autre part notre Univers est homogène et isotrope, c'est-à-dire que ses propriétés sont les mêmes en tout point. Par conséquent il ne peut pas posséder de zone périphérique jouxtant un bord car si tel était le cas certaines zones de l'Univers se différencieraient des autres.

Faut-il abandonner tout espoir de visualiser notre Univers courbe et fermé ? Oui, sans aucun doute. Mais cette sorte de frustration ne doit pas pour autant nous faire renoncer à comprendre ce qu'est la courbure de notre espace !

Simplement il nous faudra apprendre à voir l'Univers de l'intérieur et non de l'extérieur.

2. Comment parler de la courbure d'un volume ?

À première vue la notion de courbure semble assez évidente. La surface de la Terre est courbe parce que la Terre est un globe, comme on peut le visualiser de l'extérieur, surtout à l'époque des satellites artificiels.

Cependant si nous voulons généraliser la notion de courbure à un volume, il nous faut radicalement abandonner cette façon de voir les choses. En effet si un terrien peut assurément quitter la surface de la Terre pour effectuer une excursion dans le ciel, il nous est en revanche impossible de quitter l'espace dans lequel nous sommes plongés pour le contempler de l'extérieur pour la bonne raison qu'il n'y a pas d'extérieur.

Par conséquent, pour que la comparaison entre la situation terrestre et la situation cosmique garde son sens il faudra absolument interdire au terrien de quitter la surface sur laquelle il se déplace. Et pour insister sur le côté « rampant » des terriens de notre image, nous parlerons de « fourmis », condamnées à rester au sol pour n'y effectuer que des mesures internes, c'est-à-dire des mesures ne faisant appel qu'à des déplacements horizontaux mais jamais verticaux.

Les fourmis sont-elles capables de détecter une courbure dans ces conditions-là ? Nous allons voir que oui.

Comment ? La courbure se manifestera dans la compilation exhaustive des distances entre les différents points de la surface par un désaccord entre les rapports des quantités effectivement mesurées et les rapports théoriques prévus par les formules euclidiennes. Puis le raisonnement s'étendra sans peine à notre espace, pour lequel la constatation d'un désaccord analogue indiquera à son tour la présence d'une effet de courbure.

3. Droit devant soi

En évoquant un voyage de Magellan cosmique, nous parlions d'aller « tout droit ». Mais peut-on aller « tout droit » dans un espace courbe ? Ou sur une surface courbe ?

Sur Terre aller droit devant soi signifie conserver le même cap, progresser dans la même direction. Quand nous procédons de la sorte nous savons que nous décrivons l'arc d'un grand cercle du globe terrestre (quand ce grand cercle passe par le pôle il prend le nom de méridien). Du coup, comme bien qu'allant tout droit nous nous déplaçons sur un cercle, nous serions tentés de dire que la ligne poursuivie n'est pas « droite ». Et pourtant, aurions-nous vraiment raison ? Pour des fourmis liées à la surface terrestre et incapables de voir la Terre d'en-haut, rien ne distingue cette circonférence d'une droite d'un plan, la raison majeure étant que ni l'une ni l'autre ne comporte de virage.

Imaginons en effet qu'une voiture emprunte la route dessinée par ce grand cercle. Pour la suivre cette voiture n'aurait pas besoin de changer de direction. La personne la conduisant n'aurait pas à tourner le volant et aucun passager ou passagère ne sentirait de force centrifuge propre à le ou la basculer de côté. La route aurait tout d'une route rectiligne.

Supposons encore que cette route ait été déposée sur Terre en déroulant le long de notre grand cercle une immense bobine sur laquelle elle aurait été enroulée, la chaussée étant faite par exemple d'une matière plastique appropriée rigide dans sa largeur mais flexible dans sa longueur. La pose se ferait sans qu'apparaisse nulle part la moindre torsion. La route resterait tout à fait plate. Exactement comme si on la déroulait sur un plan.

Le grand cercle d'une sphère est topologiquement équivalent à la droite d'un plan.

Cette absence de distinction pratique entre droite plane et méridien est la source d'une petite difficulté de langage. Dans un plan une droite est la ligne qu'on suit quand on poursuit son chemin dans la même direction. Mais sur une sphère comment la fourmi nommera-t-elle les courbes possédant cette même propriété ? Doit-elle les appeler des droites au motif qu'elle est incapable de les distinguer des droites du plan ? La façon correcte de parler serait d'éliminer le mot « droite » de la discussion et de le remplacer par le terme technique de « géodésique » car les géodésiques sont par défintion les courbes possèdant cette propriété de conserver d'un point à l'autre la même direction.

Mais au-delà des mots (qu'est-ce qu'une droite ?) se cache, il faut le reconnaître, une difficulté de compréhension. Et d'abord qu'est-ce qu'aller tout droit dans l'espace ? En réalité c'est très simple : il suffit de laisser voguer sa fusée librement dans l'espace, après lui avoir imprimé une certaine vitesse dans la direction voulue. En effet dans la vision d'Einstein un corps en « chute libre », c'est-à-dire un corps ne subissant aucune force de poussée ou de freinage longitudinal ou latéral (autrement dit aucune accélération), suit une géodésique de l'espace-temps.

Outre un corps flottant librement dans l'espace une autre façon commode de « matérialiser » une géodésique est de faire appel à un rayon lumineux car c'est une propriété de ce rayon que d'aller « droit devant lui ». Signalons à ce propos qu'une géodésique est aussi le plus court chemin d'un point à un autre, ce qui constitue d'ailleurs la définition la plus connue de la droite d'un plan. Ainsi un rayon lumineux emprunte bien, pour aller d'un point à un autre, le trajet le plus rapide.

À l'échelle de l'Univers, il sera commode de considérer les rayons lumineux (plutôt que les vaisseaux spatiaux) comme les droites, c'est-à-dire les géodésiques, de l'espace-temps. Ils en ont les propriétés : aller tout droit et emprunter le chemin le plus rapide.

Et la courbure dans tout cela ? Elle est véritablement absente d'une géodésique prise isolément puisque celle-ci, par définition même, va tout droit. La courbure ne se manifeste que par les propriétés mutuelles de deux géodésiques. Dans un plan euclidien deux droites issues d'un même point s'écartent en proportion directe de la distance au point origine (à distance double écartement double). Dans un espace courbe les trajets respectifs de deux rayons lumineux issus d'un même point ne se conforment pas à cette image. S'écartant initialement moins vite que des droites du plan, ils vont atteindre un éloignement maximum à une certaine distance, y devenir parallèles, puis se rapprocher et enfin se recouper. Drôle de comportement ! (Mais c'est également le comportement de deux satellites terrestres décrivant deux orbites voisines, ces orbites ne divergeant pas continûment mais montrant des phases alternées et périodiques de rapprochement et d'éloignement, signe que l'espace-temps est courbe au voisinage de la Terre, à cause de la masse de cette dernière. C'est toute la gravitation selon Einstein.)

Mais avant d'en arriver là, voyons comment mesurer une distance sur une droite-géodésique et un écartement entre deux droites-géodésiques.

4. Distance à un point sur une sphère

La Terre tourne sur elle-même. L'axe de rotation définit une direction privilégiée et de ce fait rend particuliers deux points à la surface terrestre, à savoir les pôles, ces points pivots par lesquels on fait passer des méridiens imaginaires, perpendiculairement auxquels on trace des parallèles. Ce réseau permet de repérer un point par sa latitude (fixant le parallèle sur lequel il se trouve) puis, par choix arbitraire d'un méridien origine, sa longitude.

Remarquons cependant qu'en l'absence de cette rotation aucun point de la surface ne se singulariserait. Pour nous simplifier la tâche (et préparer aussi la généralisation à l'Univers) nous allons tout simplement décider de prendre comme pôle de départ, comme origine des coordonnées, la position que nous occupons (et c'est sous ce nom de pôle - ne représentant évidemment pas un pôle absolu - que nous la désignerons par la suite). Appelons O ce pôle origine, qui constituera en quelque sorte pour nous le centre de notre surface terrestre puisque c'est de ce point que nous rayonnerons.

Plus précisément, à partir de O nous allons pouvoir emprunter des « méridiens », c'est-à-dire ces fameux grands cercles (géodésiques) de la sphère terrestre. Considérons par exemple le méridien qui va passer par la ville A. Nous avons appris dans la section précédente que cette ligne représente le chemin le plus court pour aller de O à A. Aussi est-ce sur ce méridien que nous allons évaluer la distance de O à A, celle-ci étant évidemment comptée sur la surface et non en creusant un tunnel car nous nous sommes imposé de n'aller ni en-dessous ni au-dessus du sol. (Encore que la distance dont nous parlions soit bien la distance à vol d'oiseau, mais l'oiseau qui décrirait le chemin devrait rester au ras du sol.)

Le centre de la Terre est le centre du grand cercle. La distance à vol d'oiseau de O à A est la longueur de l'arc OA de ce cercle méridien. On sait que la longueur de cet arc est égale au produit du rayon de la Terre, disons a, par l'angle (exprimé en radians) entre les droites CO et CA (en sens inverse un angle est défini comme le rapport de la longueur de l'arc sous-tendu au rayon du cercle). Nous appellerons cet angle    (khi) et choisissons cette lettre grecque plutôt que les symboles plus courants    ou    qui évoquent latitude et longitude afin d'éviter de trop concrétiser le formalisme et permettre ainsi à ce dernier de se généraliser plus facilement. Nous écrivons donc

arc (OA) = a × angle (CO, CA)     a   , (1)

a représente ainsi qu'il a été dit le rayon terrestre et    la co-latitude (exprimée en radians ; on sait que 180° équivalent à    radians) de A quand O est pris pour pôle. Il est difficile de trouver plus simple !

Il est assez commode de baptiser « distance relative angulaire » entre O et A cette co-latitude de A par rapport au pôle O (une quantité à l'aide de laquelle nous avons d'ailleurs effectué dans une autre page de savants calculs). Ainsi le point le plus éloigné de O se situe à la distance relative angulaire  : c'est notre « antipode ». Il est situé à la (vraie) distance  a. De même le pôle Sud est l'antipode du pôle Nord.

Retenons : pour passer de la distance relative angulaire à la distance réelle (en kilomètres par exemple), il suffit de multiplier la première par la longueur a du rayon terrestre.

L'avantage de la notion de distance relative angulaire est le suivant. Supposons que nous puissions dilater la Terre comme un ballon gonflable. Les terres successives se correspondraient l'une à l'autre par une opération de simple homothétie mais dans cette opération la distance relative angulaire des points ne changerait pas. Tous les rapports de distances seraient conservés, seules changeraient les valeurs absolues de ces distances. Autrement dit on passerait d'une terre à l'autre par un simple changement d'échelle et c'est la valeur de a qui fixerait l'échelle de chacune. Notons que si cette valeur a s'exprime en unité de longueur la distance relative angulaire    est une grandeur sans dimension.

Comme un point (une ville) sur Terre transporte avec elle, inchangée, sa co-latitude au cours des phases de dilatation ou contraction imaginaires on donne à cette coordonnée angulaire le nom de coordonnée co-mobile.

Nous sommes prêts à aborder l'étude d'un univers courbe (éventuellement en expansion).

5. Distance à un point dans un univers courbe

Les notions précédentes s'appliquent telles quelles à un volume. En particulier nous conserverons une notation identique. La seule différence est qu'il est maintenant impossible de visualiser les choses (nous verrons plus loin ce qu'il en coûte d'essayer !)

Reprenons donc point par point la section précédente, en nous plaçant maintenant dans notre espace universel.

Il est commode de choisir le point O où nous nous trouvons (c'est-à-dire notre Galaxie) comme origine des coordonnées, un peu comme si nous étions placés au « centre » de l'Univers mais en prenant bien conscience que dans cet Univers aucun point n'est privilégié et que donc aucun ne peut jouer un rôle de centre absolu.

Nous pouvons écrire la distance à une galaxie A comme le produit d'une distance relative angulaire    par un facteur d'échelle  a  qu'il est loisible d'appeler « rayon ». L'analogie est évidente avec le cas précédent mais ici il ne faut pas chercher l'interprétation physique de ce « rayon », lequel n'est plus le rayon d'une quelconque sphère. Chaque galaxie est caractérisée par sa propre distance relative angulaire (c.-à-d. sa coordonnée co-mobile), laquelle reste indépendante de la taille réelle de l'Univers si l'espace se dilate ou se contracte.

La distance vraie d'une galaxie A s'écrit

OA = a   (2)

Il existe un point plus lointain que tous les autres dans cet Univers. Il est situé à la distance relative angulaire    et donc à la distance réelle (en mètres, kilomètres ou années de lumière)  a . On l'appelle l'anticentre. On constate à ce point que le rayon de notre Univers n'a pas une valeur arbitraire puisqu'en sens inverse il est égal à la distance de l'anticentre divisée par   , valeur bien déterminée (ce qui ne veut pas dire facile à déterminer pratiquement). Faut-il préciser que rien ne distingue intrinsèquement cet anticentre des autres points de l'Univers ? Si nous nous y transportions nous ne trouverions ni à ce point ni à son environnement aucun caractère spécial.

Si notre Univers est en expansion, la coordonnée angulaire des galaxies ne change pas (il s'agit d'une coordonnée co-mobile) mais la distance radiale réelle varie proportionnellement à la quantité a.

6. Distance entre deux points sur la sphère

Poursuivons notre arpentage. Nous avons indiqué comment exprimer la distance radiale nous séparant des différents points. Nous allons maintenant considérer deux points A et B portés respectivement par deux droites issues du point O où nous nous trouvons, ces deux points étant en outre supposés situés à la même distance de O, que nous noterons r, donc :

dist (O -> A) = dist (O -> B) = r . (3)

Le phénomène de courbure se manifeste dans l'examen de la question suivante :

Comment varie la distance mutuelle entre A et B lorsque ces points s'éloignent de nous, c'est-à-dire quand r augmente ?

Dans un plan euclidien on connaît la réponse. La distance mutuelle entre A et B est rigoureusement proportionnelle à l'éloignement r. Plus on s'éloigne de O, plus l'écart entre les droites augmente. Algébriquement parlant, si    est l'angle (constant) entre les droites OA et OB, on a exactement :

dist (A -> B) = 2 r sin ( / 2) . (4)

Lorsque    est petit on peut écrire encore plus simplement

dist (A -> B) = r   (lorsque    1) . (5)

Attention ! Malgré la ressemblance avec la relation (1), cette relation (5) ne se rapporte pas à la même chose. En (1) on écrivait la distance d'un point A le long d'un même rayon issu de O et l'angle    mesurait la position de ce point sur cette droite. En (5) il s'agit de la distance entre deux rayons issus de O et l'angle    mesure la différence entre les directions de ces droites. Secondairement la formule (1) est exacte, la formule (5) n'est qu'approchée.

Sur une sphère la distance mutuelle de deux points A et B équidistants de O n'est plus une fonction linéaire de l'éloignement.

Les points de la surface terreste situés à la même distance du pôle dessinent un parallèle. Le problème que nous nous posons est d'exprimer la distance à vol d'oiseau de deux points A et B de ce parallèle dont les longitudes diffèrent de l'angle   . Cet angle    a la même signification que précédemment  dans la formule plane (5) puisqu'il représente l'angle entre les deux méridiens passant par A et B. Autrement dit dans les deux cas    symbolise l'angle entre les deux directions OA et OB sur la surface.

Examinons d'abord le parallèle. S'il est situé à la distance relative angulaire   , il porte tous les points situés à la distance

r = a (6)

du pôle O en vertu de la formule (2). Pour des fourmis terrestres, ce parallèle constitue indéniablement le cercle de centre O et de rayon  r (par définition, comme lieu géométrique des points situés à une même distance de l'origine). Pourtant quelle est la circonférence que vont mesurer pour de bon les fourmis ? Elles ne savent pas qu'elles se trouvent sur un cercle dont le rayon, mesuré dans le plan de ce cercle (que n'imaginent pas plus les fourmis), vaut

= a sin (7)

comme nous l'apprennent les formules élémentaires de trigonométrie. Par conséquent la longueur vraie de cette circonférence est    =  a sin  .

C'est cette longueur que les fourmis mesurent directement en parcourant le parallèle. Elles mesurent correctement, le problème n'est pas là, mais elles vont constater que le rapport de cette circonférence mesurée du cercle au rayon mesuré de ce cercle n'est pas égal à 2, comme il le serait si la géométrie de la surface était euclidienne. Nous exprimerons la situation en disant que le rapport de la circonférence  2  qu'elles mesurent à la circonférence  2r  calculée par la formule euclidienne est, d'après les formules (6) et (7),

[circonférence mesurée/circonférence « euclidienne »] 

/ r  =   sin / .
(8)

Ce rapport est toujours inférieur à l'unité. Le cercle est comme « contracté » par rapport à la longueur que lui donnerait Euclide au vue de son rayon.

En sens inverse il est remarquable que cette formule fournisse aux fourmis le moyen de mesurer la co-latitude des points d'un même parallèle. Ayant choisi une unité de longueur commode arbitraire elles vont mesurer le rayon du cercle, mettons r, puis mesurer sa circonférence. Diviser cette dernière par la quantité  2  r  donnera immédiatement la valeur de ( sin / ) et donc de l'angle    lui-même.

Numériquement on peut utilement noter les valeurs suivantes. Pour un déficit de 10% par rapport à la valeur euclidienne (autrement dit pour un facteur de réduction de 0,9) la co-latitude est égale à 45° (soit 0,7854 radian). Le déficit atteint 36% à l'équateur (avec un facteur de réduction de  2 /  = 0,64 ). Enfin, à l'antipode le rayon du cercle s'annule : il n'y a qu'un seul point situé à la distance relative angulaire    (sin  = 0).

Mais revenons à la question de la distance de deux points A et B appartenant à un même parallèle. On a envie de dire que la plus courte distance entre A et B est la distance mesurée le long du parallèle (sans doute à cause de la visualisation du parallèle) mais cette idée est fausse. En effet nous avons vu plus haut que le trajet le plus rapide pour aller de A à B consistait à emprunter le grand cercle du genre méridien passant par ces deux points (et le parallèle n'est pas un grand cercle, sauf à l'équateur). La distance de A à B est donc la longueur de l'arc AB sur ce grand cercle.

À partir de cette remarque le calcul est facile à poursuivre pour qui connaît sa trigonométrie. Il est développé en appendice de façon complète pour ceux que cela intéresse mais pour comprendre les choses il suffit de s'en tenir au cas où l'angle    entre les deux directions dans lesquelles se situent les points A et B est petit. On montre dans ce cas (c'est la formule (A4) de l'appendice) que la distance entre ces deux points voisins A et B est

dist (A -> B) = r ( sin / )    pour    petit. (9)

Cette formule est sans doute la plus importante de cet exposé car c'est elle qui résume le mieux la question de la courbure. En effet la comparaison avec la formule (5) montre que la distance mutuelle réelle entre A et B est plus petite par le facteur sin /   que la distance r  calculée de façon euclidienne. Ce facteur de réduction est le même que celui déjà rencontré dans la formule (8) et a la même origine géométrique.

Retenons donc la formule magique :

pour deux points voisins A et B situés à la même co-latitude   ,

[dist (A -> B)]/[dist (A -> B)]Euclidienne = ( sin / ) .
(10)

Notons précieusement avant de poursuivre que ce terme vaut l'unité lorsque    égale zéro. Cela signifie qu'en un point la surface terrestre reste localement plate et que la courbure ne se manifeste qu'à une certaine distance. Nous reviendrons sur ce point capital.

7. Distance entre deux points dans un univers courbe

Les résultats de la section précédente qui se rapportaient aux mesures de distance accomplies par des fourmis sur la sphère terrestre se transposent fidèlement au cas d'un univers courbe. Mais rappelons nous bien qu'à l'instar des fourmis prisonnières de la surface terrestre nous ne pouvons pas nous échapper de l'espace dans lequel nous baignons. Il va donc falloir nous passer maintenant de certaines « explications » relatives au cas terrestre, celles par exemple qui faisaient référence au centre la Terre, inconnu des fourmis. Ces explications-là ne peuvent pas se tranposer car nous ne sommes plus sur une sphère.

On peut énoncer comme suit la propriété fondamentale de la courbure :

Considérons deux galaxies situées à la même distance relative angulaire    de notre propre Galaxie (c'est-à-dire à la même distance réelle  a  ) et vues dans deux directions voisines. Leur écartement apparent sur la voûte céleste mesure la différence entre ces directions ou lignes de visée. Alors dans notre univers courbe la distance transversale mutuelle réelle de ces deux galaxies est systématiquement ( sin / ) fois plus petite que ne le laisserait supposer (à la Euclide, c'est-à-dire selon la formule (5)) leur écartement angulaire.

Algébriquement :

Si deux galaxies situées à la même distance relative angulaire    de nous sont vues dans deux directions voisines faisant entre elles un petit angle  d  (cette notation, plutôt que    tout court, est destinée selon l'usage à indiquer que l'angle concerné est très petit), leur distance réelle, que nous appellerons ds, est

ds   = ( sin / ) a d , (11)
soit

ds   = a sin d
(12)

au lieu du ds = a d  d'Euclide.

L'énoncé précédent se traduit concrètement au niveau de l'observation de la façon suivante.

Supposons que nous connaissions la distance mutuelle moyenne des galaxies dans notre Univers. Supposons en outre que cette distance mutuelle soit la même partout (c'est l'hypothèse d'un univers homogène). Si notre Univers était euclidien la séparation angulaire moyenne de deux galaxies voisines devrait décroître comme l'inverse de la distance de ces galaxies, c'est-à-dire comme l'inverse de   . Autrement dit dans un espace euclidien (on peut dire « plat ») plus les galaxies seraient lointaines, plus elles seraient vues rapprochées sur le ciel, et dans une même proportion entre distance radiale et rapprochement angulaire.

Dans notre Univers courbe, il n'en est plus ainsi. L'équation (12) montre que l'écartement angulaire va varier non plus comme  1 /   mais comme  1 / sin  . Autrement dit, les galaxies seront plus écartées (angulairement) qu'elles ne le seraient dans un espace plat (sin   est inférieur à   ). Le facteur d'augmentation est de   / sin  .

Vous tiquez parce que je parle de dilatation des longueurs alors que tout à l'heure je parlais de contraction ? Il s'agit de savoir sur quoi porte la comparaison. À écartement angulaire donné, les distances mutuelles transverses sont plus petites que les distances euclidiennes mais à distance mutuelle transverse donnée, c'est forcément l'inverse : l'écartement anglulaire réel est plus grand que l'écartement euclidien.

Les choses ne sont (évidemment !) pas aussi simples notamment à cause de l'expansion de l'Univers qui introduit un écartement des galaxies supplémentaire en fonction du temps puisque l'espace se dilate. Néanmoins le principe d'une détermination des paramètres caractérisant la courbure de notre Univers se trouve bien dans cette loi de variation de l'écartement des galaxies en fonction de leur paramètre angulaire de distance radiale   .

À partir de comptages de galaxies on peut essayer de mesurer la distance mutuelle apparente moyenne de deux galaxies en fonction de leur distance à l'origine. En comparant à la distance apparente qui correspondrait à un univers plat, on en déduit l'excédent dû à la courbure, à savoir le facteur 1 / sin . De la valeur de ce facteur on déduit la valeur de   .

Connaissant la vraie distance r des galaxies, on peut alors estimer la valeur du rayon de l'Univers  a . Pour fixer les idées notons qu'à une distance radiale égale à  a  l'écart aux formules euclidiennes correspond à un excédent de  1 / sin 1 = 1,12  (soit 12%).

Terminons cette section par un rapide calcul de surface.

Sur le globe terrestre, l'ensemble des points situés à une même distance dessinait une circonférence. Dans notre univers à trois dimensions, l'ensemble des points situés à une même distance constituent une sphère. Quelle est la surface de cette sphère ?

Le fait que les dimensions élémentaires transverses soient réduites du facteur ( sin / ) entraîne que les surfaces sont réduites par le carré de ce facteur. Par conséquent la surface d'une sphère de rayon   qui en géométrie euclidienne se formulait

4 a2 2 (13)
devient dans un espace courbe

4 a2 sin 2 . (14)

On reconnaît une des formules de la géométrie des univers courbes.

8. Modèle réduit d'un univers courbe

Soit une galaxie située à la distance  r = a   de notre propre Galaxie, laquelle a été prise pour origine des coordonnées. Elle se trouve dans une certaine direction que l'on peut repérer dans notre géométrie euclidienne locale comme on le fait usuellement car, il n'y a pas de doute, c'est une direction dans un espace plat ordinaire identifiable à l'aide de deux angles, par exemple une hauteur et un azimut. Autrement dit, les galaxies sont repérées par leurs coordonnées polaires usuelles.

Pourquoi ne pas fabriquer un modèle réduit de l'Univers, en effectuant un changement d'échelle convenable et en épinglant chaque galaxie sur une tige dirigée vers cette galaxie, à une distance proportionnelle à sa distance réelle (et donc aussi à sa distance relative angulaire) ?

La réponse est qu'on peut indéniablement construire un tel modèle réduit et qu'on obtient de la sorte une boule miniature (une boule, puisqu'on sait qu'il existe une galaxie plus lointaine que toutes les autres, à la distance   a ). Cette boule représente-t-elle l'Univers ? On pourrait le croire puisque nous avons consciencieusement reporté dans ce modèle réduit toutes les galaxies, chacune à sa bonne distance et dans sa bonne direction. Alors où est la courbure dans tout ça ?

Eh bien, la boule représente bien l'Univers, mais en le déformant. La représentation n'est pas fidèle. Voilà l'effet et l'essence de la courbure.

La courbure se manifeste dans ce que toute image de l'Univers (forcément confectionnée dans notre espace euclidien local) est une représentation déformée de la réalité. On peut utilement repenser à la Terre et aux cartes que l'on peut dresser en utilisant telle ou telle projection. Toujours, nous le savons, nous introduirons des déformations, et notamment des bords, lesquels n'existent pas dans la réalité. Il est impossible de représenter la surface terrestre sur un plan sans la déformer. Il est impossible de représenter un univers courbe dans un espace euclidien (plat) sans le déformer.

La raison de la déformation introduite dans notre modèle réduit devrait être claire si on a compris ce qui précède. Pour la Terre, c'est comme si nous découpions des bandes méridiennes dans la surface à partir du pôle Nord et que nous les appliquions sur le plan. Nous aurions ainsi une étoile aux mille branches dont les rayons seraient ces méridiens. Mais on voit bien que plus on irait vers le pôle Sud, plus les méridiens seraient écartés les uns des autres, alors qu'ils ne le sont pas autant dans la réalité ! Autrement dit, plus on s'éloigne de l'origine, plus la dilatation artificielle des longueurs transverses est importante. D'ailleurs à la limite quand on atteint le pôle Sud ce point unique du globe réel se retrouve étiré sur notre carte comme tout un cercle, cercle marquant le bout de notre image. Évidemment ni cette frontière ni cet étirement n'existent dans la réalité. Ils n'existent que dans la représentation, forcément faussée, de cette réalité.

Pour notre espace à trois dimensions, l'effet de dilatation est rigoureusement le même, à ceci près que maintenant il ne s'agit plus de rayons contenus dans un plan mais de rayons formant un faisceau remplissant tout l'espace. Les rayons du modèle réduit divergent « euclidiennement » (comment pourraient-ils faire autrement ?) alors que dans la réalité ces rayons sont plus proches les uns des autres. Et si on tente d'ajuster le modèle pour qu'il soit plus fidèle, on ne pourra jamais aboutir à une image satisfaisante (on perdra sur un plan ce qu'on aura gagné sur un autre).

Numériquement, le facteur de dilatation est, on l'aura compris,le fameux terme   / sin   rencontré plus haut. Tandis que dans un espace euclidien les rayons divergent linéairement, c'est-à-dire en proportion directe de la distance au centre, donc en proportion directe de   , dans un espace courbe cet écartement varie de façon sinusoïdale, c'est-à-dire proportionnellement à  sin  .

9. Interprétation physique et géométrique de la courbure

Quand on parle du rayon de courbure de la surface terrestre, il est facile de l'imaginer. C'est simplement le rayon de la Terre. La distance relative entre deux points A et B (ou O et A) n'est autre que l'arc AB (ou OA) du grand cercle AB passant par A et B (ou O et A). Dans l'espace, quand nous parlons du rayon de courbure  a  de l'Univers, il n'est plus possible de le visualiser de la sorte. J'aimerais cependant insister sur une signification physique possible concrète de ce paramètre.

Physiquement le rayon de courbure représente une longueur caractéristique fournissant l'ordre de grandeur de la distance à couvrir pour mettre en évidence les écarts aux lois euclidiennes.

La courbure est affaire de précision des mesures. Au voisinage d'un point de la surface terrestre, ne serait-ce les accidents de terrain, on peut considérer que la Terre est plate. Ainsi on peut dresser la carte d'une ville ou même d'un département français sans introduire de déformations notables des distances et directions réelles. Les formules établies précédemment nous permettent d'ailleurs d'estimer ces déformations. Le facteur de déformation est en effet donné par l'expression (10). Pour les petites valeurs de    on peut écrire

Facteur de déformation pour 1 :
sin  /  = 1 - 2 / 6 ,
(15)
ce qui signifie que l'erreur commise en valeur relative (en pourcentage) dans les mesures de distance est  2 / 6 . Par exemple si on veut que cette erreur reste inférieure à 1% il faut que  2 / 6  reste inférieur à 0,01 et donc    inférieur à 0,25 radian (vous pouvez vérifier sur votre calculette que sin(0,25)/0,25 = 0,99). Cela correspond sur la surface terrestre à une distance de 0,25 rayon terrestre soit environ 1 500 kilomètres.

Je me suis amusé à faire le calcul suivant. Connaissant la latitude et la longitude de Brest, Strasbourg et Montpellier, on peut calculer directement les distances à vol d'oiseau suivantes : Brest-Strasbourg => 902 km; Brest-Montpellier => 838 km; Strasbourg-Montpellier => 630 km. Si maintenant je considère les deux premières distances et l'angle entre les directions de Strasbourg et Montpellier vus de Brest, je peux calculer à l'aide des formules trigonométriques usuelles (euclidiennes) relatives à un triangle la distance "euclidienne" entre Montpellier et Strasbourg. Les formules données dans mes pages fournissant à l'angle entre les directions Brest-Montpelier et Brest-Strasbourg une valeur de 42,36° on trouve pour la distance Montpellier-Strasbourg 631,5 kilomètres au lieu des 630 réels, ce qui représente une erreur de 0.2%, tout à fait conforme à notre estimation. (On peut remarquer que la distance vraie est plus petite que la distance calculée.) Je donne ailleurs le calcul correspondant à des villes nettement plus éloignées les unes des autres.

Sur une échelle de 1 500 kilomètres, la Terre est plate à 1% près. Remarquons que cette affirmation concerne la platitude mesurée intrinsèquement. Si on « triche » et qu'on utilise par exemple la hauteur du Soleil ou des étoiles, notamment celle de l'étoile polaire, pour connaître la latitude d'un lieu, on mesurerait aisément la différence de latitude correspondant à un angle de 0,25 radian, soit 8,6°. Mais dans l'Univers nous n'avons aucun moyen de déterminer directement une latitude car aucun Soleil ne peut nous servir de repère absolu et nous devons bien passer par un arpentage interne pour déduire d'un effet de courbure la valeur d'une coordonnée co-mobile.

L'Univers est localement euclidien. C'est même un des théorèmes fondateurs de la théorie de la relativité générale que d'énoncer qu'au voisinage d'un point on peut écrire ses lois de physique en oubliant toute influence extérieure, notamment gravitationnelle. Autrement dit la courbure ne peut pas se détecter localement. Elle ne se manifeste que sur des tailles d'espace suffisamment importantes, de l'ordre de grandeur du rayon de courbure, et c'est ce qui confère à ce rayon son sens physique. Rappelons qu'à une distance radiale égale au rayon de courbure, le facteur de déformation est sin(1) = 0,84.

À courte échelle un espace courbe est encore plus euclidien qu'on ne pourrait penser car la courbure est un effet du « deuxième ordre ». Cela signifie que l'écart avec les formules euclidiennes augmente non pas proportionnellement à la taille linéaire du domaine considéré mais proportionnellement au carré de cette taille, comme le montre clairement la formule (15). Or lorsque    est petit devant 1, le carré   2  est plus petit que   .

Géométriquement, considérons deux géodésiques issues d'un même point s'écartant l'une de l'autre. Leur écart mutuel est au début une fonction linéaire de la distance au point origine, c'est-à-dire qu'il est proportionnel à cette distance. On a affaire à un effet du premier ordre. En revanche la variation de cette variation (c.-à-d. l'écart à la loi euclidienne) est un effet du deuxième ordre.

En termes physiques, considérons deux fourmis cheminant à la même allure sur ces deux géodésiques. Alors l'augmentation de leur distance mutuelle en fonction du temps représentera exactement une vitesse de l'une par rapport à l'autre. Si l'accélération, c'est-à-dire le taux de variation de cette vitesse par rapport au temps, est nulle alors la vitesse est constante et l'espace est plat. En revanche la présence d'une accélération non nulle traduira la présence d'une courbure.

Nous avons abouti à la défintion peut-être la plus profonde de la courbure :

La courbure de l'espace est un effet d'accélération mutuelle de deux géodésiques voisines.

10. L'expansion de l'Univers

Einstein fonde sa théorie de la gravitation sur le concept de courbure. Il ne s'agit pas de la courbure de l'espace seul mais bien de la courbure, généralisée en quelque sorte, de l'espace-temps.

L'idée est de dire qu'un corps en chute libre suit une géodésique de l'espace-temps. Dans ce cadre théorique la gravitation se manifeste par la courbure qu'elle imprime aux géodésiques. Ainsi il y a gravitation lorsque deux corps libres voisins sont accélérés l'un  par rapport à l'autre, l'origine de la déformation des géodésiques se trouvant dans la présence de masses. Autrement dit, dans la vision einsteinienne, la gravitation se traduit dans la géométrie de l'espace-temps.

Plus exactement, Einstein calcule le « tenseur de courbure », c'est-à-dire en quelque sorte la liste de tous les coefficients de courbure caractéristiques de l'espace-temps. Puis ce tenseur est identifié au tenseur qui caractérise la matière, c'est-à-dire au tenseur de masse-énergie (lequel contient en particulier, explicitement, la masse volumique de l'Univers).

Comme le temps est une coordonnée au même titre que les coordonnées spatiales, il intervient explicitement dans les coefficients de courbure un terme contenant une accélération temporelle (en termes techniques une dérivée seconde par rapport au temps, autrement dit la dérivée d'une vitesse par rapport au temps).

Contenant ce terme d'accélération, l'équation d'Einstein appliquée à tout l'espace-temps a quelque part la même forme que l'équation classique de la dynamique d'un mobile soumis à une certaine force. Par conséquent quand on cherche la solution de cette équation il n'est pas étonnant de trouver un terme d'expansion. Cette expansion intervient donc naturellement dans le modèle sans qu'il y ait besoin de l'introduire artificiellement ou gratuitement. C'est bien l'immense mérite de la théorie de la gravitation d'Einstein d'avoir prédit cette expansion au moment où personne ne semblait préparé (et Einstein pas plus qu'un autre) à une telle révolution dans la conception du monde.

L'expansion de l'Univers est l'expression de la composante temporelle de la courbure de l'espace-temps.

11. Quelle est l'origine des formules non-euclidiennes ?

Nous avons obtenu des formules non-euclidiennes en nous basant sur une comparaison avec la courbure d'une sphère. Il se trouve qu'il y a moyen de court-circuiter tous ces raisonnements assez laborieux tout en aboutissant rapidement au résultat.

Nous conservons l'analogie de la sphère mais en la développant de façon purement formelle, c'est-à-dire en restant au niveau du symbolisme mathématique, sans recourir à la géométrie euclidienne. Consentez à ce maigre effort et vous verrez que le jeu en vaut la chandelle tant le gain en clarté de formalisme est considérable.

Nous appréhendons facilement la courbure d'une sphère 2D à condition de la considérer comme la surface d'un sphère 3D. Or comme l'immersion de notre espace 3D dans un espace formel 4D est triviale, nous allons voir que sa courbure est très facile à appréhender à condition de considérer notre espace comme une sorte de « surface » sphérique 3D (nous dirons une hyper-sphère 3D) dans un hyper-espace 4D (non visualisable !). En résumé, comme notre sphère 2D était la surface 2D d'un volume 3D, notre espace 3D est l'hyper-surface 3D d'un hyper-espace 4D. Ouf !

Reprenons les choses au début.

Nous partons d'une circonférence dans un plan, C'est une courbe à une dimension (une distance curviligne suffit à se repérer sur cette ligne). Or on peut aussi la considérer comme la frontière d'un disque à deux dimensions en repérant maintenant un point non plus sur la seule ligne mais dans le plan entier à l'aide de deux coordonnées x et y (abscisse et ordonnée). L'équation de cette circonférence 1D dans le plan 2D est classique :

x 2 + y 2 = a 2 . (16)
Facile !

Une remarque cependant : qu'est-ce que cette quantité a ? Sur la circonférence considérée comme une courbe 1D, a n'a pas la signification directe d'un quelconque rayon. Tout au plus pouvons-nous dire que la circonférence est une courbe fermée, qu'elle a donc une longueur totale et que par convention nous choisissons de noter cette longueur totale  a . En revanche, vue en 2D, cette même quantité a est le rayon (classique) du disque 2D.

Passons à la dimension supérieure.

La surface 2D d'une sphère peut être considérée comme la frontière d'une boule 3D. Son équation est tout aussi classique dans un repère à trois coordonnées x, y et z :

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . (17)

Qu'est-ce que a ? Sa signification sur la surface 2D n'est pas évidente. Cependant, la sphère est fermée et nous pouvons toujours noter  a  la longueur d'un « tour » complet. Dans l'espace 3D, cette quantité a est le rayon d'une boule dont la sphère 2D est la frontière. Toujours aussi facile !

Défendons-nous maintenant de visualiser la suite et contentons-nous de répéter la même ritournelle.

Le volume 3D de notre espace peut être considéré comme la frontière (l'hyper-surface) d'une hyper-boule 4D dans un espace à quatre dimensions où nous repérons un point par quatre coordonnées x, y, z et w. L'équation de cet hyper-volume 4D est :

x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a 2 . (18)

Que représente a ? Dans notre espace 3D, sa signification n'est pas immédiate. Cependant notre Univers est fermé et quand nous en aurons fait le « tour » (c'est-à-dire quand nous serons revenus au point de départ) nous pourrons par convention écrire que nous avons parcouru la distance  a . En revanche, dans l'hyper-espace 4D, a représente tout simplement le rayon de l'hyper-boule 4D dont notre espace 3D est la frontière.

Élémentaire à condition de ne pas vouloir trop concrétiser ni réfléchir ! Souvent les mathématiques sont affaire de mécanisme.

Nous sommes arrivés au bout de nos peines :

La surface terrestre est la frontière (la surface) 2D d'une boule sphérique 3D de rayon a.
L'univers est la frontière (l'hyper-surface) 3D d'une hyper-boule 4D de rayon a.

Ceux qui le désirent pourront consulter l'appendice et constater que les formules fondamentales de la courbure découlent immédiatement de cette façon de voir, ou plutôt de concevoir, les choses.

Face à un énoncé aussi simple, faut-il regretter la longue présentation de la courbure comme « un effet d'accélération mutuelle de deux géodésiques voisines » (re-ouf !) ? Non, car la présentation exhaustive a une portée bien plus générale que la considération des surfaces et volumes homogènes qui nous a permis d'écrire des formules idéalement simples.

La définition de la courbure en référence à l'examen de l'écart de deux géodésiques voisines s'adapte à toute situation. C'est bien cette notion qui a permis à Einstein de développer sa théorie de la gravitation. C'est la courbure des géodésiques qui permet de déterminer la structure d'un trou noir ou de décrire le trajet de la lumière au voisinage de masses. En revanche la théorie des volumes homogènes s'applique seulement à des univers homogènes (et il n'est même pas légitime de supposer a priori que notre Univers est homogène) mais pas aux accidents locaux que créent les masses disséminées çà et là.

Par analogie, les fourmis peuvent décrire grossièrement à l'aide des équations d'une sphère homogène leur cheminement sur une pomme. Mais d'une part la pomme n'est pas une sphère parfaite (ni d'ailleurs la Terre) et d'autre part le formalisme du modèle homogène et isotrope ne leur permet pas par exemple de décrire le creux que forme la surface de cette pomme à la naissance de la queue du fruit.

En somme les deux présentations de la courbure et du rayon de courbure se complètent et s'éclairent mutuellement. Et toute simplification se paye.

12. Une petite épreuve-test de compréhension

Avons-nous bien compris ce qu'est un univers courbe fermé ? Voici une question-test pour le vérifier.

L'Univers est en expansion. Son rayon est peut-être de 15 milliards d'années de lumière (seul importe l'ordre de grandeur). Ce rayon augmente d'environ 1%, c'est-à-dire de 0,15 milliard (soit 150 millions) d'années lumière, en 150 millions d'années, donc de 1 année lumière en 1 an. En ordre de grandeur, cela veut dire que le rayon de l'univers augmente à la vitesse de la lumière (ce qui est tout à fait raisonnable car à l'échelle de l'Univers la correspondance entre distance et temps s'établit par la vitesse de la lumière. Ainsi les équations d'un univers en expansion montrent que le rayon de l'Univers, exprimé en temps-lumière, est forcément du même ordre de grandeur que l'âge de l'Univers. Toutes les 5 secondes, le rayon de l'Univers augmente de la quantité Δ a = 5 secondes de lumière. Comme le volume total de notre Univers est 2 a3 , cela signifie que ce volume augmente de la quantité 2 a2 Δ a toutes les 5 secondes.

Le calcul fait, l'Univers augmente toutes les 5 secondes d'un volume équivalent à un cube de 100 000 années de lumière de côté, soit environ le volume de notre Voie Lactée toute entière.

Question-test : d'où vient cet espace « supplémentaire » ?

La question n'a pas de réponse parce qu'elle n'a pas de sens. Autrement dit, plutôt que de chercher à y répondre, il faut reconsidérer cette question.

Notre espace n'a pas d'extérieur, pas de cadre dans lequel il serait en expansion. Il n'est pas en expansion dans quelque chose. Autrement dit, il ne possède pas un quelconque bord qui s'avancerait dans un milieu environnant, contrairement à l'image qui nous vient naturellement (encore et toujours) à l'esprit mais dont il faut nous défaire. Autrement dit encore, il n'existe pas « quelque part » de réservoir d'espace, puisque le monde est tout espace. L'espace ne coule pas comme coule l'eau d'une fontaine. L'espace n'est pas localisable puisqu'il contient tout repère.

En tout point nous voyons (et pour une fois ce que nous voyons correspond à la réalité) que l'espace est en expansion, car toutes les galaxies s'éloignent de la nôtre. Mais cette expansion ne se traduit pas par l'ajout d'un volume qui serait emprunté ailleurs, puisqu'il n'y pas d'ailleurs.

Le volume de l'Univers augmente sans cesse. Il n'augmente pas par addition d'espace mais seulement par dilatation de cet espace, laquelle est entièrement mesurée et visualisable en interne mais certainement pas par observation externe.

D'où vient l'espace supplémentaire ? Il n'y a pas d'espace « supplémentaire ».

La discussion vaut pour l'origine de l'Univers. Lorsqu'à l'origine le monde était réduit à une taille infime, il ne faudrait pas croire que cet « atome » originel (au sens de volume infiniment petit) était plus localisable que ne l'est notre Univers actuel. Non, quoiqu'infime, l'Univers était déjà tout l'espace. Par conséquent le big bang ne s'est pas produit « quelque part », dans un cadre méta-universel. Le big bang, dès que nous en parlons, c'est déjà tout l'espace et tout le temps, tout l'espace-temps.

Quant à savoir d'où vient l'espace-temps, c'est une autre question.


APPENDICE : DÉTAILS DE CALCUL



Calcul de l'écartement de deux méridiens

Sur Terre, dans le plan du parallèle sur lequel se trouvent les points A et B, la longueur du tunnel AB est donnée par la formule (4) (par définition du sinus d'un angle !) avec un rayon  r = a sin  , c'est-à-dire par

AB = 2 a sin  sin  / 2 (A0)

Toujours par définition d'un sinus, l'angle sous lequel on voit depuis le centre C de la Terre le segment AB est déterminé par le sinus de sa moitié comme le rapport de AB/2 au rayon  a , c'est-à-dire comme sin  sin  / 2.

Je me permets de donner le détail et le résultat du calcul même s'il paraît lourd à certains parce qu'à l'époque des calculatrices c'est un jeu d'enfant de traduire en nombre des opérations qui paraissent compliquées. Précisément la fonction qui fournit l'angle quand on donne son sinus (autrement dit la fonction qui permet de passer du sinus à l'angle correspondant) est accessible sur toute calculette scientifique comme la fonction inverse du sinus. On appelle « Arc sinus » cette fonction et on la note « Arc sin ». Ainsi l'angle entre les droites CA et CB est deux fois l'angle dont le sinus est sin  sin  / 2, autrement dit vaut 2 Arc sin ( sin  sin  / 2). On obtient alors la longueur de l'arc AB sur la sphère en multipliant cet angle par le rayon de la Terre  a .

En définitive la distance mutuelle sur la sphère de deux points A et B se trouvant à la distance angulaire    du point O et situés dans deux directions faisant entre elles l'angle    est

dist (A -> B) arc (AB) = 2 a Arc sin [ sin  sin  / 2] (A1)

Plaçons nous à mi-distance du pôle opposé, donc sur l'équateur. Sur celui-ci    vaut (/2) et sin   vaut 1. La formule (A1) donne alors

dist (A -> B) = a       (sur l'équateur). (A2)

Contrairement à son apparence, cette expression (A2) n'est pas (pour les fourmis) la formule euclidienne (5) car a n'est pas r. En effet, les points A et B ne sont pas situés pour les fourmis sur un cercle de rayon a mais bien à une distance r égale à un quart de méridien, c'est-à-dire à la distance   a / 2 . On peut utilement retenir que pour les fourmis la distance mutuelle de deux points sur l'équateur est la fraction a / r = 2 /  , soit environ les 2/3, de la distance qu'indiquerait la formule euclidienne.

Enfin considérons deux directions très rapprochées l'une de l'autre ce qui signifie que l'angle    est très petit. La formule (A1) devient alors en pratique

dist (A -> B) = a ( sin   a ( sin / ) (A3)

En tenant compte de l'expression (1) r = a , on aboutit à la forme

dist (A -> B) = r ( sin / )    pour    petit (A4)

donnée comme formule (9) et à comparer avec la formule euclidienne (5).

Pour être tout à fait complet, le calcul général de la distance la plus courte entre deux points situés sur une sphère (comme la Terre) et repérés par leur latitude et leur longitude est exposé dans une autre page.

Équations d'une surface ou d'une hyper-surface en coordonnées sphériques

De longs discours sont inutiles. Ceux qui sont relativement familiers de l'algèbre devraient comprendre les formules rassemblées dans le tableau suivant, lequel résume la situation. Ce n'est qu'un jeu d'écrire les équations des sphères à n dimensions en coordonnées cartésiennes puis en coordonnées polaires. On peut continuer sans mal le tableau pour des dimensions supérieures.

ÉQUATION DE SPHÈRES HOMOGÈNES ET ISOTROPES À 1, 2 OU 3 DIMENSIONS

D'après GRAVITATION (1973; Misner, Thorne, Wheeler; Freeman and Company)
Dimension de la « sphère » Représentation dans un espace de dimension une unité supérieure en coordonnées cartésiennes Passage en coordonnées polaires Distance de deux points infiniment voisins en coordonnées polaires
1D x 2 + y 2 = a 2 y = a sin
x = a cos
ds 2 = a 2 d 2
2D x 2 + y 2 + z 2 = a 2 z = a cos
y = a sin sin
x = a sin cos
ds 2 = a 2 ( d 2 + sin 2 d 2 )
3D x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a 2 w = a cos
z = a sin cos
y = a sin sin sin
x = a sin sin cos
ds 2 = a 2 [ d 2 + sin 2 ( d 2 + sin 2 d 2 )]

La remarque importante est que les espaces de dimension supérieure à 3 ne sont pas visualisables. Ce ne sont pas des espaces physiques. Ils peuvent nous servir à calculer (et nous constatons que c'est assez facile) mais ne sont d'aucun secours sur le plan de la compréhension expérimentale.

Pour finir, la dernière formule du tableau donnant la distance de deux points très voisins dans notre espace courbe en coordonnées polaires (les coordonnées que nous avons choisies tout au long de l'article) devient, lorsqu'on prend deux points situés à la même distance (donc d = 0) et d'écartement angulaire très petit d (et en choisissant en outre les axes de façon que d = 0),

d s = a ( sin ) d (A5)

ce qui n'est autre que la formule (12).

Cette dernière colonne indique d'ailleurs ce que l'on appelle la « métrique » de l'espace. Nous avons donné ailleurs la métrique de l'espace-temps d'Einstein dans un repère de Lorentz (coordonnées cartésiennes x, y, z pour l'espace, t pour le temps). Réécrivons la ici :

d s 2 = - c 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 (A6)

soit

d s 2 = - c 2 d t 2 + a 2 [ d 2 + sin 2 ( d 2 + sin 2 d 2 )] . (A7)

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Dernière modification : 3 septembre 2011