EXPRESSIONS DE SURFACES ET DE VOLUMES DANS UN UNIVERS COURBE



Dans un espace courbe, les formules permettant de calculer la surface ou le volume de sphères ne sont pas les mêmes que pour un espace plat euclidien.


Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Dans un univers plat euclidien, la surface d'une sphère de rayon r est
S=4π r, (1)
le volume compris entre deux sphères de rayons r et r voisins de r est
V = 4π r (r - r) (2)
et le volume d'une sphère de rayon r est
V = (4π/3) r . (3)

Dans un univers courbe, que nous prendrons « fermé », donc fini, ces formules ne sont plus valables. Autrement dit, quand nous représentons notre Univers à l'aide d'un modèle à trois dimensions (dans notre espace euclidien s'entend) les expressions ci-dessus donneront bien les surfaces et les volumes du modèle mais ces nombres ne traduiront pas correctement les surfaces et volumes de l'espace réel. Pour calculer ces derniers, de nouvelles formules doivent être utilisées, qui sont données ci-dessous.

Un univers courbe donné se caractérise par sa taille, qu'il est commode de mesurer par la distance de la galaxie la plus éloignée de la nôtre et située au point appelé « anticentre ». Cette distance maximale que nous noterons R n'est pas un « rayon » ni un « diamètre » au sens courant des termes car l'univers n'est pas une sphère au sens ordinaire ! Soit alors l'ensemble des points situés à la distance r. La surface occupée par ces points (que nous appellerons quand même « sphère » mais en un sens plus général et en prenant garde de ne pas la mesurer comme on a l'habitude de le faire) est maintenant

S = 4 π a sinx,

avec a = R/π et x = πr/R.

Je rappelle que R est une constante et que r peut prendre toutes les valeurs entre 0 et R. Ainsi, la quantité x joue le rôle d'une distance relative puisque c'est au facteur π près la fraction de distance à l'anticentre. Elle varie entre 0 et π (x et R ont été définis dans ce but) et, comme on le voit, se comporte dans les formules comme un angle.

En sens inverse, en fonction de a (qui caractérise l'univers) et de la variable x (qui caractérise le point), on voit facilement que la distance du point considéré est
r = ax.

On peut réécrire directement en fonction de r et R la dernière formule donnant S pour obtenir l'expression d'aspect un tout petit peu plus compliqué :
S = (4/π) R sinr/R) (4)

Par rapport au cas euclidien, on constate qu'au lieu d'augmenter comme le carré du rayon r la surface de la « sphère » varie maintenant de façon sinusoïdale, augmentant d'abord, passant par un maximum à mi-distance de l'anticentre pour r = R/2 (soit x = π/2) et décroissant ensuite pour tendre vers zéro lorsqu'on atteint l'anticentre. C'est un comportement tout à fait inattendu pour un esprit « euclidien ».

Au voisinage de l'origine l'univers courbe est semblable à l'univers plat. En effet, sachant que lorsque x est beaucoup plus petit que l'unité (x1) sin x est pratiquement égal à x, le lecteur constatera que la formule (4) redonne l'expression euclidienne 4π r. Mais ensuite les différences s'accusent. Le trait le plus étonnant est que l'ensemble des points situés à la distance maximale R se réduit à une surface nulle, car sin π = 0, c'est-à-dire à un seul point ! Et pourtant, ce point unique, à savoir l'anticentre, nous le voyons dans toutes les directions (puisque nous avons considéré des sphères « complètes », c'est-à-dire comprenant tous les points situés à une distance donnée) !

Passons aux mesures de volumes. Le volume occupé par tous les points situés entre deux distances r et r voisines de r est :

V = 4π a (sin x) (x - x) (5)

avec les mêmes notations que ci-dessus, c'est-à-dire :

a = R/π ,     x = πr/R,     x = πr/R     x = πr/R .

Il s'agit bien du volume réel, qui fournira par exemple le nombre total de galaxies qu'il contient si on suppose que celles-ci peuplent uniformément l'espace. En revanche, les mêmes points reportés sur le modèle réduit y occupent, d'après la formule usuelle euclidienne (2), le volume :

v = 4π b (x) (x - x) (6)

b est un facteur convenable prenant en compte la réduction d'échelle entre les distances réelles et les distances rapportées mais qu'il est inutile d'expliciter car il ne joue aucun rôle dans le raisonnement. Comparons les formules (5) et (6). Si elles ne différaient que d'un facteur constant, on pourrait dire que les volumes v du modèle réduit seraient une représentation conforme, au taux de réduction près, des volumes V réels. Mais il n'en est pas ainsi : le rapport V/v varie avec le rayon r au voisinage duquel on se trouve. Ce rapport est (à un facteur constant près dû à l'échelle) :

p = (V/v) = (sin x/x),      avec toujours x = πr/R .

Ce facteur p permet de faire la correction de « courbure » nécessaire pour passer du volume représentatif au volume réel de l'espace. Comme p est toujours inférieur à l'unité, nous constatons que le volume réel est toujours plus petit que celui que nous déduirions de la formule euclidienne. La coïncidence n'est réalisée qu'à l'origine, pour x1, car p tend vers 1 quand x tend vers 0. Puis p décroît lorsque x (donc r) croît. Cela veut dire qu'au fur et à mesure que nous nous éloignons de notre Galaxie un certain volume constant du modèle réduit représente en réalité un volume de plus en plus faible. Ainsi pour r = R/2, on a x = π/2, et par conséquent p = (2/π), soit p = 0,4053. Lorsque r vaut R (on atteint l'anticentre) p est nul.

Terminons en donnant le volume total de notre univers courbe : il vaut 2a3 ou, en fonction de R, (2/π)R3. Une sphère euclidienne de rayon R, ce que n'est pas notre univers (mais ce qu'est, à l'échelle près, le modèle réduit en forme de boule), aurait pour volume (4π/3) R. Le rapport de ces deux volumes est de (3/2π2) = 0,152. Autrement dit, le volume réel de notre Univers n'est que les 15,2% de ce que laisserait supposer sa représentation sous forme de modèle sphérique réduit dans un espace euclidien.

 



D'après un extrait du livre de Christian Magnan,
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 27 septembre 2005


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