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OÙ SE SITUE L'HORIZON DE NOTRE UNIVERS ?



Notre Univers est en expansion. Sa partie visible est bornée par un horizon au-delà duquel les galaxies sont invisibles, leur lumière n'ayant pas encore eu le temps de parvenir jusqu'à nous. Mais où se situe la frontière fatidique ?

Les formules qui décrivent le cheminement d'une fourmi sur un élastique que l'on étire s'appliquent aussi à la course entre la lumière et l'expansion cosmique ! Elles permettent de calculer au passage le décalage spectral cosmologique de la lumière d'une galaxie et la relation entre décalage et distance...

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


SECTIONS

1. L'anecdote de la fourmi sur un élastique
2. Définition de la distance relative angulaire
3. Le rayon de l'Univers
4. La fourmi poursuit consciencieusement son chemin
5. Cas d'une expansion linéairement fonction du temps
6. Des galaxies animées d'une vitesse supérieure à celle de la lumière
7. Où se situe donc l'horizon dans notre Univers ?
8. Le décalage spectral cosmologique
9. Relation entre décalage spectral et distance d'une galaxie

L'ANECDOTE DE LA FOURMI SUR UN ÉLASTIQUE

Imaginons une fourmi cheminant sur un élastique et cherchant à atteindre un point donné. Au fur et à mesure que l'insecte avance, on tend l'élastique, de sorte que le but fixé ne cesse de s'éloigner. Selon la vitesse d'allongement de l'élastique, la fourmi finira-t-elle par atteindre son objectif ?

La progression de la fourmi sert à illustrer la propagation de la lumière dans un univers en expansion, une fourmi représentant une crête d'onde lumineuse. Au fur et à mesure que la lumière avance, l'espace recule. Comment la lumière des galaxies lointaines réussit-elle à nous parvenir ?

DÉFINITION DE LA DISTANCE RELATIVE ANGULAIRE

Il est impossible d'aborder cette question de la course entre la lumière et l'expansion (ou entre la fourmi et l'allongement de l'élastique) sans introduire un minimum de formalisme car des raisonnements purement qualitatifs ne suffisent pas. Dans ce but la première chose à faire est de choisir une méthode de repérage de la fourmi sur l'élastique. Comme le support est mobile, il est clair ce repérage peut difficilement s'effectuer par la mesure d'une distance à une origine fixée. En effet, à cause de l'allongement, une telle distance ne cesserait de varier même si la fourmi s'arrêtait de marcher. La méthode de repérage idéale consiste à imaginer une série de poteaux indicateurs (ou bornes kilométriques) plantés à intervalles réguliers sur l'élastique alors qu'il est au repos. On pourra numéroter ces poteaux à l'aide de la suite des nombres entiers, 1,2,3, etc., en introduisant facilement des subdivisions si nécessaire. Il est clair que ces indications seront indépendantes du degré d'allongement et serviront à mesurer des distances relatives entre points.

L'échelle de distance relative est sans dimensions car elle représente en réalité un rapport de longueurs. Elle peut de ce fait s'exprimer arbitrairement de plusieurs façons, par exemple par un pourcentage avec des poteaux numérotés de 0 à 100, 0 représentant une extrémité de l'élastique et 100 l'autre extrémité. Par analogie avec la façon dont on repère la position d'un point sur une sphère par les deux angles que sont sa latitude et sa longitude (sans connaître, on le notera, la vraie distance au pôle ou au méridien origine), nous choisirons ici de mesurer une distance relative sur l'élastique par un angle, lequel variera entre 0 et π (ou entre 0 et 180°). Ce choix est motivé par le fait que les expressions algébriques prennent de la sorte une forme plus simple. Étant « relative » et étant représentée par un angle, nous baptiserons cette grandeur « distance relative angulaire ».

LE RAYON DE L'UNIVERS

Pour passer des distance relatives (de 0 à π) aux distances réelles (en centimètres par exemple), il faudra multiplier ces angles par une certaine longueur de référence (en cm), qui variera d'ailleurs continuellement si l'élastique se tend. Par analogie avec les formules décrivant un univers courbe, nous définirons une distance caractéristique de référence a telle que la longueur totale de l'élastique R s'écrive comme
R = π a  . (1)

Pour un univers courbe, cette longueur caractéristique a est désignée sous le nom de « rayon » de l'univers, bien que ce dernier ne soit pas une sphère. Cette désignation a l'avantage de rappeler que cette grandeur a bien les dimensions d'une longueur et qu'elle ne représente pas un simple facteur d'échelle. Toujours pour un univers courbe, la distance R apparaissant dans la formule (1) représente la distance à la plus lointaine galaxie, laquelle se trouve au point que l'on nomme anticentre (relativement à notre propre Galaxie).

Si la fourmi se trouve à la distance relative angulaire χ d'une des extrémités de l'élastique, c'est-à-dire à la fraction (χ / π) de la longueur totale de l'élastique, cela voudra dire que sa distance effective r (en centimètres) à l'origine est
r = χ a , (2)

a est la valeur du « rayon » (ou, si l'on préfère, de la longueur caractéristique) de l'élastique à l'instant considéré.

Similairement cette expression (2) donne aussi la distance instantanée réelle r de la galaxie qui se trouve à la distance relative angulaire χ de la nôtre.

LA FOURMI POURSUIT CONSCIENCIEUSEMENT SON CHEMIN

La fourmi avance à la vitesse c, ce qui veut dire qu'elle couvre la vraie distance
dr = c dt

pendant l'intervalle de temps dt. De façon analogue, la lumière se propage à la vitesse c et passe du point r au point r + dr pendant le temps dt. À quelle variation dχ de la coordonnée χ de distance relative angulaire cela correspond-il ? Puisque, comme l'exprime la relation (2), la quantité a (le rayon de l'Univers) est le facteur multiplicatif qui permet de passer de la distance relative repérée à la distance vraie, nous aurons (en sens inverse, en passant de la distance vraie r à la distance relative χ)
dχ = dr/a    c dt/a . (3)

La difficulté du problème vient de ce que la longueur caractéristique a n'est pas constante, puisqu'elle croît avec le temps. La complication n'est cependant pas majeure : un mathématicien trouvera facilement la relation entre χ et r (ou χ et t) si on lui donne la loi de variation de a en fonction du temps t .

CAS D'UNE EXPANSION LINÉAIREMENT FONCTION DU TEMPS

Pour illustrer ces formules, considérons le cas où l'univers (ou l'élastique) subit une expansion (ou un allongement) uniforme à taux constant, ce qui signifie que l'échelle de distance a augmente linéairement avec le temps, en s'écrivant donc :
a = a0 t / t0 , (4)

en notant a0 le rayon de l'univers au temps t0 . L'équation (3) s'écrit maintenant
dχ = (c t0 / a0 ) (dt/t)  . (5)

Supposons que nous recevions maintenant, à l'instant t, la lumière d'une galaxie située à la distance relative angulaire χ (laquelle quantité caractérise la galaxie observée et reste constante avec le temps). Notons tem l'époque (passée) à laquelle la lumière a été émise. La relation entre les temps d'émission et de réception et la distance de la galaxie est obtenue en intégrant la relation (5), ce qui donne
χ = β Log ( t / tem) , (6)

où on a introduit la variable sans dimensions
β = c t0 / a0 . (7)

Incidemment (car il est bon de connaître l'ordre de grandeur des quantités que l'on manipule) le taux d'expansion actuel de notre propre Univers correspond à une valeur de  β  grossièrement de l'ordre de l'unité.

DES GALAXIES ANIMÉES D'UNE VITESSE SUPÉRIEURE À CELLE DE LA LUMIÈRE

Cette dernière relation montre que dans un tel univers toutes les galaxies sont théoriquement visibles. En effet, quelle que soit la galaxie, laquelle est repérée par sa distance relative angulaire χ , il existe toujours un temps tem tel que la lumière émise à tem nous parvienne maintenant à l'instant t. En effet ce temps tem est donné, d'après la formule (6), par l'expression :
tem = t exp (-χ / β) . (8)

Dans ce modèle les galaxies les plus lointaines sont donc visibles, à la seule condition que leur lumière ait été émise suffisamment tôt dans le passé (à une époque où les galaxies étaient d'ailleurs bien plus proches les unes des autres, ceci expliquant cela). Autrement dit, cet univers théorique ne possède pas d'horizon. Et pourtant, la vitesse de récession apparente de galaxies arbitrairement éloignées peut dépasser la vitesse de la lumière, comme on peut facilement le voir. En effet, d'après les relations (2) et (4), la distance de la galaxie repérée par sa coordonnée angulaire χ est
r = χ a0 t / t0 (9)
et sa vitesse apparente est
 dr/dt = χ a0 / t0 . (10)

Comme nous avons remarqué plus haut que a0 / t0 est de l'ordre de c, il est clair que, pour des valeurs suffisamment fortes de χ , V peut devenir plus grand que la vitesse de la lumière.

Ce résultat n'est pas en contradiction avec la théorie de la relativité (qui énonce qu'aucune vitesse ne peut dépasser celle de la lumière) car la vitesse dont nous parlons ici n'est qu'une vitesse apparente correspondant à un accroissement de distance entre galaxies (les fourmis sur l'élastique) dû à l'expansion de l'espace et non à un déplacement par rapport à l'« élastique cosmologique » lui-même. Algébriquement parlant, une vraie vitesse impliquerait un changement de valeur de la coordonnée courante χ alors que l'effet de l'expansion est lié à un changement de valeur de l'échelle des distances a, celle que nous avons appelée « rayon de l'univers », tandis que χ reste constant.

Enfin le fait que, dans notre exemple d'une expansion linéaire avec le temps, des galaxies puissent posséder une vitesse apparente de fuite supérieure à la vitesse de la lumière et néanmoins demeurer visibles montre bien que l'existence éventuelle d'un horizon dans un univers n'est pas la conséquence directe et automatique du fait que la vitesse d'éloignement des galaxies dépasserait à cet endroit (l'horizon) la vitesse de la lumière.

En vérité, la raison pour laquelle notre Univers visible est limité par un horizon est qu'à une époque reculée il était animé dans le temps d'une expansion plus rapide qu'une expansion linéaire.

OÙ SE SITUE DONC L'HORIZON DANS NOTRE UNIVERS ?

Quelle est donc la situation dans notre Univers réel ? Sans que l'on connaisse avec certitude son histoire passée et son état présent, on peut légitimement estimer qu'une bonne idée de sa structure spatio-temporelle nous est donnée par le modèle standard homogène de Friedmann-Robertson-Walker, modèle construit à partir des équations de la relativité générale d'Einstein et basé sur l'hypothèse d'homogénéité parfaite. Il se trouve que les formules qui décrivent ce modèle d'univers fournissent directement la solution du problème de l'horizon, et ce pour la raison suivante : elles expriment le rayon de l'Univers a et son âge précisément en fonction de la distance relative angulaire de l'horizon, que nous noterons  . Rappelons ces fameuses formules :
a = c (A/ 2) (1 - cos ) (11)
t = (A/ 2) ( - sin ) , (12)

dans lesquelles la quantité A, qui a les dimensions d'un temps, caractérise entièrement le modèle. Pour notre propre Univers, ce paramètre A pourrait être de l'ordre de plusieurs dizaines de milliards d'années. La longueur cA représente le rayon de l'Univers à l'instant où ce dernier atteint son état d'expansion maximale, juste avant de se contracter. L'équation (11) montre que cet événement se produit au moment où l'horizon parvient à la position = π. Cela signifie qu'à cet instant l'Univers est entièrement dévoilé à nos yeux, c'est-à-dire que toutes les galaxies qui le composent sont visibles. En particulier la lumière de la plus lointaine galaxie, située au point appelé « anticentre », à la position angulaire χ = π comme l'indique la formule (1), lumière émise au tout début de l'Univers, peut enfin parvenir jusqu'à nous.

D'après les équations (11) et (12), la rapidité d'accroissement de la longueur caractéristique a (le rayon de l'Univers) est donné par le facteur-vitesse
W da/dt = c sin / (1 - cos ) (13)

Cette formule montre que le taux d'expansion de l'Univers était infiniment grand à l'origine du big bang, lorsque était infiniment petit. Comme cette dernière quantité représente la distance à l'horizon cosmologique, le fait pour elle de tendre vers zéro implique qu'en tout point l'horizon était infiniment proche de ce point. Autrement dit tout point était isolé du reste de l'Univers et s'en trouvait causalement déconnecté. La fameux « problème de l'horizon » consiste en cette situation. Il exprime la difficulté à comprendre physiquement que des points déconnectés les uns des autres puissent former un tout, et un tout qui de plus apparaît grossièrement homogène. On peut en conclure d'ailleurs que la connection (logiquement nécessaire) entre les différents points de l'Univers a été établie « avant » que cet Univers ne devienne un modèle homogène (de Friedmann-Robertson-Walker) décrit par les équations (11) et (12) déduites de la théorie de la gravitation d'Einstein.

Quelle est la vitesse de récession d'une galaxie ? Ce concept n'a pas forcément un sens immédiat. En effet, s'il est clair que dans notre Univers en expansion la « distance » d'une galaxie augmente avec le temps et qu'on peut donc considérer que cet objet possède une sorte de « vitesse » d'éloignement, il n'est pas évident de définir le terme de « distance ». Le choix le plus logique consiste à choisir comme distance d'une galaxie au temps t celle à laquelle elle se trouverait si l'Univers cessait brusquement son expansion à cet instant t. Autrement dit la distance r d'une galaxie repérée par sa coordonnée angulaire (ou distance relative angulaire)   est donnée par la formule (2), que nous recopions :
r = χ a . (14)

Par suite, sa vitesse apparente de récession est la dérivée de cette distance par rapport au temps, soit
W = (dr / dt) = χ (da /dt) χ a (1/a) (da / dt) . (15)
Il n'est pas très étonnant de récupérer une « loi de Hubble »
W = H r  ,    où    H (1/a) (da / dt)  , (16)

exprimant que la pseudo-vitesse de récession W d'une galaxie est proportionnelle à sa distance r. A partir des formules (11) et (12) on trouve facilement que la constante de Hubble a pour valeur
H = (2/A) sin ( 1 - cos )-2 . (17)

Il n'est pas difficile alors de calculer la vitesse apparente de fuite des galaxies qui se situent à l'horizon cosmologique, c'est-à-dire, rappelons-le, à la position radiale angulaire χ  =  . D'après la formule (15) nous obtenons immédiatement la vitesse de fuite à l'horizon sous la forme :
W(horizon) = (da / dt) = c sin / ( 1 - cos ) . (18)

Cette expression est intéressante. Elle nous montre d'abord que la « vitesse de l'horizon » (si on me permet cette expression) est grossièrement parlant de l'ordre de grandeur de la vitesse de la lumière. Elle montre encore qu'à l'origine de l'Univers, cette vitesse de l'horizon est W = 2 c. Puis au fur et à mesure que l'Univers vieillit, cette vitesse apparente de fuite décroît en restant toutefois supérieure à c jusqu'à ce que atteigne la valeur 2,33 (ou 134°).

Ainsi, bien que leur vitesse apparente de fuite puisse dépasser la vitesse de la lumière, les galaxies situées en-deça de l'horizon demeurent visibles.

Qu'en est-il de notre Univers au moment présent ? On connaît trop mal son âge et sa structure (c'est-à-dire notamment son paramètre de taille A) pour pouvoir donner avec certitude la valeur actuelle du paramètre  . Des estimations relativement anciennes donnaient 2 (voir C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman & Company, 1973, page 738). Si nous admettons cette valeur, nous aurions W = 1,3 c, de sorte que la vitesse de récession à l'horizon serait 30% plus grande que la vitesse de la lumière. Même si cette valeur n'est pas entièrement correcte, elle illustre la possibilité (théorique) pour des galaxies situées à l'horizon de s'éloigner à des vitesses supérieures à celle de la lumière.

Dans une version plus abordable de cette étude sur l'horizon cosmologique, nous avons suggéré pour notre Univers la valeur 1, qui conduit à une vitesse apparente de l'horizon de 1,8 fois la vitesse de la lumière.

La situation inverse, pour laquelle les galaxies situées à l'horizon s'éloignent à une vitesse cette fois inférieure à celle de la lumière, se produit quand l'Univers est plus vieux ( > 2.33). Ce fait confirme que l'horizon cosmologique n'est pas situé à l'endroit où la vitesse apparente de fuite des galaxies devient égale à celle de la lumière.

Rappelons enfin que l'Univers sera exploré entièrement quand l'horizon aura la valeur π, au moment de l'état d'expansion maximum. La formule (18) montre qu'à cette époque la vitesse de fuite à l'horizon (donc celle de la dernière galaxie à apparaître à nos yeux) sera nulle.

LE DÉCALAGE SPECTRAL COSMOLOGIQUE

Il se trouve que nous avons à notre disposition tous les outils algébriques permettant de calculer le décalage spectral dû à l'expansion de l'Univers. Profitons donc de l'occasion !

Imaginons deux fourmis avançant l'une derrrière l'autre sur notre élastique à la même vitesse. Si la longueur de l'élastique restait constante, l'intervalle séparant les deux fourmis resterait aussi constant. Si maintenant l'élastique s'allonge, il est évident que la distance mutuelle des deux fourmis suivra fidèlement, dans les mêmes proportions, la variation de longueur de l'élastique. C'est là l'explication du décalage de la lumière vers le rouge dû à l'expansion de l'Univers : la distance entre deux crêtes d'onde de lumière (représentée par la distance entre les deux fourmis), distance égale par définition à la longueur d'onde de la lumière, augmentera dans les mêmes proportions que la taille de l'Univers, mesurée par exemple par son «rayon» a. Si ce rayon double, la longueur d'onde de toutes les lumières doublera elle aussi. Par conséquent la formule du décalage cosmologique est vraiment « enfantine ». Elle exprime tout simplement que la longueur d'onde de la lumière est proportionnelle au rayon de l'Univers a.

Si nous notons  em la longueur d'onde de la lumière lorsqu'elle est émise, à l'instant où le rayon de l'Univers est aem , et  rec la longueur d'onde à la réception, quand le rayon de l'Univers est arec , nous avons la relation de « décalage spectral cosmologique » ultra-simple :
 rec /  em = arec / aem . (19)

En astrophysique, pour des raisons historiques et expérimentales, on utilise très souvent la quantité
z Δ / = arec / aem - 1 . (20)
qui porte en anglais le nom de « redshift ».

Une illustration fameuse de la formule (19) du décalage spectral nous est fournie par le rayonnement cosmique diffus à 2,7 K. Ce rayonnement a été émis environ 100 000 ans après le big bang sous la forme de lumière visible correspondant à une température de l'ordre de 4500 degrés Kelvin. Depuis l'Univers s'est dilaté (pendant une douzaine de milliards d'années) en augmentant ses proportions d'environ un facteur 1500. Les dimensions linéaires de l'Univers étant maintenant 1500 fois plus grandes, les longueurs d'onde sont également 1500 fois plus grandes et la température correspondante du gaz de photons est 1500 fois plus petite, donc aux alentours de 3 K, car la température varie en raison inverse des longueurs d'onde (plus une source est froide, plus elle émet dans les grandes longueurs d'onde).

RELATION ENTRE DÉCALAGE SPECTRAL ET DISTANCE D'UNE GALAXIE

À l'origine, la loi de Hubble énonce que le décalage vers le rouge de la lumière des galaxies proches est proportionnel à la distance de la galaxie émettrice. Rappelons que ce décalage, qui pourrait sembler à première vue équivalent à celui que produirait une vitesse de récession, est d'origine cosmologique et ne résulte pas d'un déplacement de la galaxie par rapport aux mailles du tissu cosmique. C'est la dilatation elle-même de ce tissu supposé élastique qui donne l'illusion d'une « vitesse ». Mais la loi de Hubble (c'est-à-dire la proportionnalité entre décalage et distance) est-elle valable pour toutes les galaxies ? Quelle est la relation exacte entre décalage spectral et distance ? Les équations écrites ci-dessus permettent de répondre à la question.

Supposons que nous recevions aujourd'hui au temps trec la lumière d'une certaine galaxie, lumière qui a été émise dans le passé au temps tem . Comment cet instant d'émission est-il lié à la distance de la galaxie ? Autrement dit, en sens inverse, quelle distance la lumière parcourt-elle dans l'intervalle de temps séparant les instants d'émission et de réception tem et trec ?

Nous allons travailler avec des distances relatives angulaires, c'est-à-dire que, comme précédemment, nous allons faire correspondre à la distance linéaire « réelle » c Δt parcourue par la lumière pendant l'intervalle de temps Δt l'accroissement de la coordonnée angulaire égal à
Δχ = c Δt / a(t) .  
de la formule (3).

Si la galaxie observée est située à la distance relative angulaire χ le problème est donc de déterminer combien de temps il aura fallu à la lumière pour parcourir cette distance angulaire. L'« astuce » de raisonnement consiste à remarquer que puisque l'Univers est le même partout (il est homogène et isotrope), la lumière, quel que soit le point d'émission considéré et quelle que soit la direction d'émission, parcourt la même distance angulaire entre l'instant cosmique universel tem et l'instant trec. Or, le choix le plus simple, dans le contexte de nos équations, est d'imaginer un photon émis depuis notre Galaxie à l'instant t=0, dans n'importe quelle direction : à l'instant t un tel photon se retrouvera à la distance de l'horizon. Par conséquent une mesure immédiate et astucieuse de la propagation "angulaire" de la lumière est donnée par la variation de la distance angulaire de l'horizon (c'est-à-dire la quantité ).

Je résume : la distance angulaire parcourue par la lumière dans le cosmos entre deux instants donnés tem et trec est égale à la variation de la distance angulaire de notre horizon entre ces deux instants. Autrement dit,
Δχ = Δ. (21)

Comme nous connaissons les caractéristiques de notre Univers à chaque instant en fonction du paramètre à travers les formules (11) et (12) le problème posé est maintenant facile à résoudre.

Nous avons convenu de mesurer la distance de la galaxie observée aujourd'hui par sa coordonnée radiale angulaire et de la noter χ. Insistons sur le fait que cette distance relative est bien constante pour une galaxie donnée et caractérise donc bel et bien celle-ci. Maintenant, d'après la loi de propagation de la lumière exprimée par la relation (21), la distance relative angulaire totale parcourue par la lumière entre l'instant d'émission et l'instant de réception est égale à l'accroissement de la valeur du fameux paramètre (la distance radiale relative de l'horizon) pendant cet intervalle de temps. Algébriquement, cela s'écrit :
χ = rec - em  . (22)
La distance radiale réelle (en centimètres par exemple) de cette galaxie est donc
r = χ a = ( rec - em ) a . (23)

Si on connaît l'âge actuel de l'Univers trec et la distance à l'horizon rec (voir la formule (12)), on connaît également grâce à la formule (22) la distance à l'horizon em lors de l'émission et par conséquent le rayon de l'Univers à la même époque, donné par la formule (11). L'équation (19) permet alors d'exprimer le rapport de la longueur d'onde du rayonnement lors de la réception à la longueur d'onde du rayonnement lors de l'émission sous la forme :
 rec /  em = (1 - cos rec ) / (1 - cos em ) . (24)

Écrivons cette formule de décalage cosmologique du rayonnement explicitement en fonction de la distance radiale angulaire χ de la galaxie observée. La quantité  rec est la valeur actuelle de  , que nous noterons donc simplement  . Par conséquent  em = - χ . Nous pouvons alors écrire les équations (23) et (24) sous la forme :
r = a χ

 rec /  em = (1 - cos ) / [(1 - cos ( - χ )] .
(25)

Ces équations résolvent le problème posé, celui de trouver la relation entre la « dilation cosmique » ( rec /  em) de la longueur d'onde (ou le décalage vers le rouge) de la lumière d'une galaxie et la distance r de cette galaxie, laquelle est repérée par sa distance relative angulaire χ.

Pour des galaxies voisines, nous pouvons développer ces expressions au premier ordre par rapport à la variable χ et redécouvrir du même coup la fameuse loi de Hubble. Nous pouvons écrire en effet :
Δ / = Δ ( 1 - cos ) / ( 1 - cos ) = sin Δ / ( 1 - cos ) . (26)

Cette expression redonne bien la relation de Hubble entre le décalage z (formule (20)) et la distance l = a Δ de la galaxie observée (a est donné par la formule (11)), c'est-à-dire :
z = H l , (27)
où la constante de Hubble H est fournie par les équations (16) et (17).


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Dernière modification : 6 juillet 2007

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