LA RELATIVITÉ RESTREINTE EN DEUX MOTS ET UNE FORMULE !



La relativité restreinte découle naturellement de la définition de l'intervalle entre deux événements...


Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Les bases de la relativité restreinte sont faciles à énoncer. Au lieu de parler de points de l'espace, on commence par parler d'« événements ». Un événement sera par exemple le départ de telle fusée (événement désigné par exemple par E), l'émission d'un flash de lumière (F), la rencontre entre deux voitures (G), etc. Pour établir des liens quantitatifs entre les différents événements (c'est-à-dire pour faire de la « géométrie »), on est amené à repérer chacun d'entre eux à la fois par un lieu et une date. Ce repérage nécessite donc la donnée simultanée de quatre nombres, trois pour le lieu, un pour la date. Un lieu sera repéré par trois quantités, les « coordonnées » du point, soit x, y et z, tandis que la date sera fournie, grâce à telle horloge, par une coordonnée temporelle, le temps t.

Une géométrie euclidienne est une géométrie dans laquelle on peut définir une distance d entre deux points P1 et P2 de coordonnées respectives (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2) indépendante du choix du système de repérage (supposé toutefois constitué par un trièdre trirectangle) par la formule

d 2 = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1) 2 . (1)

Une géométrie de Lorentz, celle de la relativité, est une géométrie dans laquelle on peut définir un intervalle s (sorte de « distance généralisée » si on y tient) entre deux événements E1 et E2 de coordonnées respectives (x1, y1, z1, t1 ) et (x2, y2, z2, t2 ) indépendant du choix des systèmes de coordonnées par la formule

s 2 = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1) 2 - c 2 (t2 - t1) 2 , (2)
soit

s 2 = d 2 - c 2 (t2 - t1) 2 , (3)

dans laquelle c est un facteur numérique (la vitesse de la lumière : 299 792 458 mètres par secondes) permettant de convertir les secondes en mètres et réciproquement (dans des comptes, on ne peut pas ajouter des euros et des francs français sans les convertir en une même unité !).

Attention : la quantité s est une distance formelle qui n'a plus rien à voir avec une distance spatiale physique.

Le point fondamental sur lequel insister est qu'en géométrie de Lorentz deux observateurs différents, par exemple l'un parti en fusée et l'autre resté sur Terre, constateront l'identité de l'intervalle s défini par le formule (2) mais mesureront en général, comme nous le verrons plus bas, des quantités différentes pour la distance spatiale d et la distance temporelle (t2 - t1).

La quantité s 2, carré de l'intervalle s, définie par la formule (2) ou (3), peut être positive ou négative selon que la distance d est plus grande ou plus petite que la distance correspondante à la durée (t2 - t1). En reprenant les termes de la discussion du chapitre sur l'espace-temps, nous distinguerons les deux cas de la façon suivante.

Quand s 2 est positif la distance spatiale d qui sépare les événements est plus grande que la distance que peut parcourir la lumière pendant la durée disponible (t2 - t1). Ou encore : le temps nécessaire à la lumière pour parcourir la distance d est plus grand que le temps disponible. C'est le cas où les événements examinés ne sont pas soumis à une relation causale. L'intervalle est alors dit du genre « espace » car c'est la distance spatiale qui domine dans l'expression (3) de s.

Quand s 2 est négatif, l'intervalle est au contraire du genre « temps ». Dans ce cas le temps disponible est suffisant pour permettre à la lumière de parcourir la distance mutuelle entre le lieu initial et le lieu final. Les événements sont causalement dépendants l'un de l'autre : l'un peut agir sur l'autre et on peut distinguer un passé d'un futur.

Démontrons maintenant (très simplement !) le phénomène de ralentissement des horloges dans une fusée, lequel est à l'origine de la fameuse expérience imaginaire des jumeaux de l'espace.

Considérons une fusée se déplaçant à la vitesse v par rapport à la Terre, ce qui signifie que sa distance par rapport à cette Terre, que nous appellerons d, varie comme v T, où T (T comme « Terre ») est le temps terrestre, compté depuis le départ de la fusée. Pour les besoins du raisonnement, nous supposerons la vitesse de la fusée constante. Les événements considérés seront les positions successives de la fusée au cours du temps. On peut ainsi imaginer qu'elle croise des balises de l'espace indiquant chacune (comme des bornes sur une autoroute) une distance à la Terre et de plus, dans notre cas, l'heure réglée en temps terrestre.

Quel est le repérage des événements sucessifs pour un voyageur situé dans la fusée ? Il faut comprendre que chaque balise sera vue par lui au même endroit, par exemple à travers tel hublot. Par conséquent la coordonnée spatiale des événements successifs ne changera pas du point de vue de la fusée de sorte que l'observateur embarqué ne mesurera sur son horloge interne qu'un écoulement du temps, que nous noterons F (F comme « fusée ») et qui s'appelle le « temps propre » de cette fusée.

Appliquons alors notre « loi » selon laquelle l'intervalle entre l'événement départ et l'événement « passage de la fusée devant telle balise située à la distance d », intervalle défini par la formule (3), ne dépend pas du repère choisi. Nous écrivons donc l'égalité entre l'intervalle (au carré) exprimé en coordonnées terrestres et l'intervalle (au carré) exprimé en coordonnées relatives à la fusée :

d 2 - c 2 T 2 = - c 2 F 2 (4)

ou encore, en remplaçant d par sa valeur v T,

(c 2 - v 2) T 2 = c 2 F 2 . (5)

Cette relation signifie que le temps propre F dans la fusée est plus petit que le temps terrestre T, autrement dit que les horloges embarquées ralentissent. Le rapport entre les durées spatiales et les durées terrestres est le fameux facteur

F / T = [ 1 - (v2 / c2) ] ½ (6)

que l'on retrouve à tous les détours des formules de relativité restreinte.

Pour v égal à c/ 2, la moitié de la vitesse de la lumière (vitesse irréalisable en pratique), le ralentissement est de 13% (qui correspond à un facteur F/T de 0,87). Pour v/c petit devant l'unité, le ralentissement relatif est numériquement égal à (1/ 2)(v/c)2, donc par exemple de l'ordre de 10-8 pour une vitesse v de l'ordre de 30 km/s (v/c de l'ordre de 10-4 ).



D'après un extrait du livre de Christian Magnan,
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 3 septembre 2001


Questions de cosmologie
Page d'accueil de Christian Magnan


URL :  http://www.lacosmo.com/intervalle.html