LA LUMINOSITÉ DU CIEL NOCTURNE



L'astronome Olbers a jadis soutenu que la noirceur du ciel était paradoxale car dans un univers illimité ce ciel devrait être uniformément tapissé d'étoiles et donc se montrer très lumineux. Comment calculer la luminosité du ciel nocturne et résoudre du même coup ce paradoxe ? Voici une page, illustrée de quelques formules , qui apporte la réponse.


Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Le calcul de la luminosité du ciel dans un univers en expansion n'est pas trivial mais j'essaye ici de le rendre accessible. Grâce à ce qui est présenté dans d'autres annexes numériques, nous possédons les éléments pour le mener à bien. Courage !

Nous nous plaçons d'emblée dans un univers en expansion puisque nous savons que notre Univers est de ce type. Il serait difficile autrement de s'appuyer sur un calcul statique (donc erroné) pour tirer, de la luminosité observée, des conclusions sur la structure de notre Univers. (Cependant le résultat s'appliquera aussi au cas statique.)

Il s'agit bien toutefois d'un calcul d'ordre de grandeur. Nous nous permettons de ce fait d'adopter certaines hypothèse simplificatrices. Nous supposons en particulier que l'univers est peuplé uniformément de galaxies toutes identiques, chaque galaxie émettant une énergie (ou luminosité) totale  L , constante au cours du temps. Nous ignorons aussi la répartition spectrale de cette énergie, c'est-à-dire la proportion allouée aux différents domaines de longueur d'onde.

Une galaxie sera repérée, nous l'avons signalé dans d'autres pages, par une coordonnée angulaire indiquant sa distance relative à la Terre, rapport de la distance réelle au rayon de courbure de l'univers  a . Cette coordonnée est notée selon les cas (que l'on me pardonne la différence de notation)  x , chi (χ) ou eta (η). Ici, ce sera x. Par définition, en sens inverse, on passe de la distance relative angulaire x à la « vraie » distance instantanée  r  (l'univers étant supposé figé dans son expansion au moment T considéré, celui où a lieu la réception de la lumière) en la multipliant par le rayon de l'univers  a  au même moment. Algébriquement,

r = a x. (1)

La galaxie de coordonnée relative angulaire  x  que nous observons sur Terre au temps T a émis son rayonnement isotropiquement dans toutes les directions. Par conséquent tous les points situés à la même distance que la Terre recoivent à l'instant T le même rayonnement. Donc cette lumière est répartie uniformément sur une sphère centrée sur la galaxie et de rayon r = a x. Pour bien signifier que le rayon de l'univers dépend du temps T, nous le noterons plus précisément a(T). La surface de cette sphère dans l'univers courbe que nous considérons vaut, d'après les formules voulues :

S = 4 π [ a (T) ] 2 sin 2 x . (2)

Un télescope de surface collectrice unité ne captera que la fraction (1 / S ) de la luminosité totale L, c'est-à-dire la quantité (L / S ).

Ce facteur de dilution géométrique n'est pas le seul à entrer en ligne de jeu. Dans un univers en expansion deux autres facteurs sont à considérer pour passer de la luminosité intrinsèque L de la galaxie à la luminosité observée sur Terre. L'un prend en compte le fait que la longueur d'onde augmente avec l'expansion (et donc leur énergie décroît en proportion), l'autre le fait que l'intervalle de temps séparant deux photons successifs à la réception est plus grand que celui qui les séparait à l'émission (par conséquent, pendant le temps de la mesure on recevra en proportion moins de photons, d'où moins d'énergie). Il suffit de penser à nos fourmis cheminant sur un élastique qu'on étire pour comprendre que ces facteurs sont tous les deux égaux au rapport des rayons de l'univers entre l'instant de l'émission et l'instant de l'observation.

Au final le résultat est que pour trouver la luminosité reçue il faut multiplier la quantité (L / S ) précédente par le facteur [ a (tem) / a (T) ] 2 ,  tem désignant l'époque d'émission et a (tem) le rayon de l'univers lors de l'émission ( T , rappelons-le, est la date de la réception).

Pour l'instant nous nous sommes limités à la luminosité d'une seule galaxie. Il faut maintenant additionner les luminosités de toutes les galaxies accessibles. Commençons par considérer les sources de lumière situées à la même distance angulaire x (c'est-à-dire, comme le dit la formule (1), à la même distance réelle ax, a étant le rayon de l'univers à l'instant où on compte les galaxies). Plus exactement, car il faut nous donner un volume, nous considérons les galaxies dont la distance relative est comprise entre x et (x + dx) (leur distance réelle est comprise entre ax et (ax + adx)). Cet ensemble de galaxies est donc situé dans une couche sphérique d'épaisseur adx limitée par deux surfaces sphériques dont l'aire (voir la formule (2)) vaut 4 π a 2 sin 2 x.

Le nombre de galaxies contenues dans cette couche est donc

dN = 4 π n a 2 sin 2 x (a dx) ≡ 4 π n a 3 sin 2 x dx (5)

si on note n le nombre de galaxies par unité de volume.

Attention ! Dans notre univers en expansion, le nombre de galaxies par unité de volume (appelé improprement en astrophysique, mais très couramment au point que je reprendrai le terme, « densité » de galaxies) n'est pas constant, puisque le volume augmente alors que le nombre de galaxies, nous le supposons, reste le même. En revanche, le produit n a 3 reste constant. En effet, le volume total d'un univers de rayon a vaut, comme nous l'apprennent les formules, 2 π2 a 3. Par conséquent le nombre total (constant) de galaxies de l'univers est

Ntot = 2 π2 n a 3 . (6)

Revenons à la luminosité. Nous devons additionner les quantités (L / S ) des dN galaxies contenues dans notre volume élémentaire. Or il est facile de voir que lorsqu'on effectue le produit  (L / S ) × dN  les facteurs sin 2 x disparaissent puisque le volume de la couche et la surface sont tous deux proportionnels à ce facteur et que l'un apparaît au numérateur et l'autre au dénominateur. On trouve alors facilement que les galaxies situées dans la couche élémentaire contribuent à la luminosité totale à raison de

(L / S) dN = (1 / 2 π2) Ntot L [a(T)]-2 dx . (7)

Il faut maintenant faire la somme des contributions de toutes les couches de galaxies dont nous recevons la lumière à l'instant T considéré. C'est enfantin à partir de la dernière formule (7). En effet, tous les termes sont constants (c'est-à-dire ne dépendent pas de la couche choisie, donc de la variable x) et la sommation des dx successifs donnera tout simplement X, la coordonnée relative angulaire des galaxies les plus lointaines que nous puissions détecter, c'est-à-dire des galaxies situées à l'horizon. Génial. Autrement dit l'énergie totale reçue sur Terre au temps T est

E = (1 / 2 π2) Ntot L [a(T)]-2 X . (8)

X, redisons-le, est la distance de l'horizon en coordonnée angulaire, donc une quantité sans doute de l'ordre de grandeur de l'unité (puisqu'il s'agit d'un angle exprimé en radians).

Réécrivons cette formule (8) de façon légèrement différente en faisant apparaître le volume total actuel

V =  2 π2 [a(T)] 3 (9)
de notre univers. Alors
E = (Ntot / V) a(T) X L. (10)

Dans cette expression on voit réapparaître le nombre n de galaxies par unité de volume. D'autre part, la quantité a(T) X, est la distance instantanée à l'horizon : c'est la distance à laquelle se trouverait cet horizon si on stoppait brutalement l'expansion de l'univers. En appelant D cette distance aux dernières galaxies visibles, nous arrivons à la formule simplissime

E = n L D . (11)

Rappelons : E est la luminosité totale de toutes les galaxies visibles ; L est la luminosité d'une galaxie ; n est la densité actuelle des galaxies ; D est la distance de l'horizon universel.

Le trait principal de cette formule est le terme en D, qui montre que la luminosité augmente linéairement avec la distance sondée, ce qui a priori n'était pas évident. En fait la quantité de galaxies visibles augmente comme le cube du rayon de la sphère les contenant (autrement dit comme le cube de leur distance) mais comme nous ne recevons d'une galaxie qu'une énergie inversement proportionnelle à leur distance il reste bien une somme d'énergies variant comme la distance (des galaxies émettrices). Autre façon de dire les choses : nous avons vu plus haut qu'il y avait dans ce calcul compensation entre la surface de chaque couche proportionnelle à  r 2  et ce que l'on appelle le « facteur de dilution », en 1 / r 2  (dû au fait que toute la lumière d'une galaxie donnée est répartie dans tout l'espace et que par conséquent nous n'en récupérons qu'une fraction). Il est à noter que le calcul dans le cas statique possède ces mêmes caractéristiques et fournit également un résultat proportionnel à la distance.

La présence de ce terme linéaire en distance est à l'origine de ce que l'on appelle couramment le paradoxe d'Olbers. En effet si nous supposons que l'univers a toujours existé et qu'il s'étend aussi loin que l'on puisse imaginer, nous sommes conduits à adopter une distance D infinie. Dans ces conditions l'expression de la luminosité diverge et il est impossible d'expliquer pourquoi le ciel est noir la nuit.

En fait renversons le raisonnement. Nous observons une certaine luminosité  E  du ciel nocturne. Nous avons à notre disposition la formule (11) dans laquelle nous pouvons introduire une valeur  n  de la densité des galaxies et une valeur  L  de la luminosité. Voyons alors ce que nous pouvons en déduire comme valeur  D  de la distance à l'horizon.

L'application numérique est instructive.

Consultons les « bons ouvrages », c'est-à-dire les recueils de données astronomiques (par exemple la fameuse compilation Astrophysical Quantities, de C.W. Allen). On estime la luminosité des étoiles contenues dans les galaxies à environ 5×108 luminosités solaires par mégaparsec cube (1 luminosité solaire équivaut à 4×1033 ergs par seconde). Comme un mégaparsec fait 3×1024 centimètres, le produit  n L  de la formule (11) vaut 6,5×10-32 ergs par seconde et par centimètre cube (luminosité totale des galaxies émise par unité de volume ; je sais, le choix du centimètre cube pour mesurer des volumes contenant des galaxies est particulièrement malvenu). Que donne l'observation pour la luminosité du fond de ciel ? La question est difficile. D'abord la quantité recherchée est délicate à isoler du reste des sources lumineuses qui parsèment le ciel : il faut notamment éliminer toutes les étoiles pour accéder à la lumière des galaxies lointaines. Ensuite il faudrait préciser le domaine de longueur d'onde dans lequel se fait la détection, mais cela nous emmènerait trop loin.

Cependant une indication précieuse est que l'unité usuellement utilisée par les astronomes pour mesurer la luminosité du fond du ciel est une étoile de dixième magnitude par degré carré. À quoi correspond cette quantité ? Une magnitude de 5 équivaut à un soleil placé à 10 parsecs. Une étoile de dixième magnitude correspond à un astre cent fois moins brillant, c'est-à-dire à un soleil situé à 100 parsecs. Sur Terre on détectera sa lumière à raison d'un flux d'énergie de 3×10-9 erg cm-3 s-1. Il nous faut ajouter maintenant la contribution de tous les degrés carrés du ciel. Comme un degré carré vaut (π / 180)2 stéradian, le nombre de degrés carrés sur tout le ciel est de 4π ×(π / 180)-2, soit 41 253 et la luminosité de tout le ciel supposé occupé par une étoile de dixième magnitude par degré carré est de 10-4 erg cm-3 s-1.

En comparant la source ultime de lumière  n L = 6,5×10-32 et la luminosité unité observée E = 10-4, nous arrivons grâce à la formule (11) à une échelle caractéristique de distance D, ou mieux D / c, en unités de temps, d'environ 2 milliards d'années de lumière.

Ce résultat est étonnamment satisfaisant. Rappelons en effet que notre calcul est très grossier (il se base sur des hypothèses fort simplificatrices sur la physique des galaxies, leur formation, leur évolution, leur répartition dans l'espace ; il ne tient aucun compte de la répartition de la lumière selon sa longueur d'onde) et n'est destiné qu'à illustrer les ordres de grandeur en cause. À cet égard ce calcul atteint pleinement son but car il fournit un temps caractéristique, de l'ordre de quelques milliards d'années de lumière, qui concorde entièrement avec des temps calculés par ailleurs. On sait par exemple que l'âge de l'Univers est estimé à la douzaine ou quinzaine de milliards d'années. Par conséquent, la présence d'un horizon cosmologique à une distance se comptant en milliards d'années de lumière explique pourquoi le ciel est noir.

À l'heure actuelle, il n'y a plus de paradoxe. La luminosité observée du ciel est explicable dans ses grandes lignes. Elle est compatible avec l'idée d'un univers en expansion depuis une durée se chiffrant en milliards d'années. La luminosité du ciel est due à celles des galaxies dont la lumière a eu le temps de parvenir jusqu'à nous, les galaxies plus lointaines demeurant encore invisibles. Leur nombre s'élève peut-être à quelques milliards (selon la taille moyenne choisie), quantité tout à fait limitée, qui rend compte du fait que le ciel nocturne ne soit pas plus brillant que ce qu'il est.

Paradoxe ou non, l'étude de la luminosité du ciel est riche de leçons. Cette noirceur à laquelle nous sommes tellement habitués n'est pas si « naturelle » qu'il y paraît. Il y a matière à rêver à contempler les étoiles se détachant la nuit sur un fond (heureusement) sombre puisque nous découvrons en même temps la structure de tout notre univers. Cette nuit témoigne, nous venons de le calculer, de l'histoire de notre monde, de sa naissance, de l'apparition des galaxies et de l'expansion de l'espace.



D'après un extrait du livre de Christian Magnan,
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)
Dernière modification : 2 novembre 2005


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