COMBIEN DE FOIS FAUT-IL JETER UN DÉ POUR SORTIR UN NUMÉRO DONNÉ ?



À chaque jet de dé, on a une chance sur six de sortir le chiffre (entre 1 et 6) choisi à l'avance. En six jets, on a 7 chances sur 10 de réussir. En moyenne, il faut jeter un dé six fois avant de gagner. Formules....

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Combien de fois faut-il jeter un dé pour trouver une face donnée? On ne peut répondre à cette question que d'une façon statistique, puisqu'il est évidemment impossible de savoir quand le numéro choisi sortira vraiment. Le fond du problème a d'ailleurs quelque chose de paradoxal. Nous savons bien qu'à force de lancer le dé, nous finirons bien par tomber sur le bon numéro, comme si la chance de réussite par essai augmentait au fur et à mesure que nous multiplions les essais. Or il n'en est rien. À chaque jet du dé, la probabilité de réussite, ici de 1/6 (il y a six faces, parmi lesquelles une seule est la bonne), reste rigoureusement la même, indépendante de toute histoire antérieure. Par exemple si en dix coups nous n'avons pas réussi, la chance de sortir le bon numéro au onzième sera toujours de 1/6, ni plus ni moins. Cette absence de mémoire du passé est d'ailleurs la base même de tout calcul de probabilité portant sur des tirages au sort. Autrement dit à chaque nouveau lancer c'est comme si nous repartions à zéro.

Il semble clair malgré tout qu'en multipliant les essais nous augmentons au total les chances de réussite. Comment? Calculons cet effet.

L'« astuce » de raisonnement consiste à considérer la probabilité de l'événement complémentaire, celui de perdre. Ici la « chance de perdre » (si on peut dire!) est évidemment de 5/6 par essai (soit 0,83). La suite du calcul est alors très simple. Perdre une fois est probable (5 chances sur 6). Mais perdre deux fois de suite l'est moins. En effet, à la probabilité de perdre une fois (5/6) se combine la probabilité (inférieure à l'unité) de perdre une autre fois, c'est-à-dire encore 5/6. La probabilité de perdre deux fois de suite est donc

P2=(5/6)2 (1)

soit 0,69.

La généralisation est immédiate. La probabilité de perdre n fois de suite est

Pn=(5/6)n . (2)

Or, cette probabilité décroît bien lorsque le nombre de coups augmente (la probabilité de perdre n fois est 5/6 fois plus petite que la probabilité de perdre (n - 1) fois) . Autrement dit, en accord avec notre intuition, plus notre séquence de coups est longue, moins nous avons de chances d'avoir perdu au bout du compte. Par exemple, la probabilité de perdre douze fois de suite est (5/6)12, soit 0,11. Et en sens inverse, la probabilité d'avoir gagné au moins une fois au cours de ces essais est 0,89 (ce qui représente 9 chances sur 10).

Il est intéressant de considérer le cas d'un événement très peu probable ne représentant qu'une chance parmi un nombre très grand, mettons N, de possibilités. L'un des exemples les plus classique est celui du singe tapant au hasard sur une machine à écrire et essayant de produire un texte donné de p signes parmi l'immensité des suites possibles de p signes. Si le singe a 35 signes à sa disposition, alors le nombre de telles suites est « tout simplement » N=35 p, ce qui peut conduire à des nombres défiant l'imagination si les exposants atteignent par exemple le million. Dans un tel cas, il est évident que la probabilité d'échec par essai est très grande, donc très voisine de 1, puisqu'égale à 1-(1/N). Cependant, mathématiquement parlant, en augmentant à volonté le nombre n d'essais, la probabilité d'échec après n essais

\begin{displaymath}P_{n}=\left[1-(1/N)\right]^n,\end{displaymath} (3)

diminue et tend même vers zéro, rendant du même coup le succès (là encore mathématique!) assuré.

Pratiquement, au bout de combien d'essais a-t-on quelque chance de réussir? À l'aide des formules, la réponse est facile à donner. Intuitivement, on aurait tendance à répondre qu'il faut réaliser en gros un nombre d'essais égal au nombre de possibilités. Ce qui veut dire que si on a une chance sur mille de réussir, il faudrait jouer en gros mille fois. Cette intuition, une fois n'est pas coutume en probabilités, ne nous trompe pas. Estimons en effet la probabilité de ne pas avoir gagné au bout de N coups (ce N étant justement le nombre, rappelons-le, de possibilités de choix) et montrons que cette probabilité est assez faible (augmentant du même coup les chances de réussite). Cette probabilité d'échec après N coups est égale à:

\begin{displaymath}P_N=\left[1-(1/N)\right]^N .\end{displaymath} (4)

Cette expression dira peut-être quelque chose aux mathématiciens amateurs, car elle est identique, à un signe près (celui qui précède le 1/N), à la formule de définition du fameux nombre « e ». Que vaut PN? Si N est très grand l'expression entre crochets est extrêmement proche de 1, ce qui pourrait faire croire que la probabilité va rester égale à l'unité (avec un échec certain) puisque 1 élevé à n'importe quelle puissance reste 1. Cependant, si on s'intéresse à l'exposant, qui est lui très grand, on aboutit à une conclusion contraire, puisque la puissance d'un nombre inférieur à l'unité (inférieur de peu, mais inférieur quand même) va tendre à devenir nulle, avec cette fois un échec impossible et une réussite assurée.

Qui gagne de l'exposant ou de la base? Ni l'un ni l'autre. Il est absolument remarquable que la fonction PN tende (pour N arbitrairement grand) vers un nombre tombant entre les deux limites 0 et 1, nombre égal à l'inverse du célébrissime nombre e, dont l'importance en mathématique est immense. Comme e égale 2,7183 (en se limitant à quelques chiffres significatifs), 1/e vaut 0,368.

Revenons à nos probabilités. PN était la probabilité d'échec au bout de N essais. Cette probabilité est en gros de 0,4. Autrement dit, on a 4 chances sur 10 d'avoir échoué après production de N suites aléatoires. Par conséquent, en sens inverse, au bout de N essais, on a 6 chances sur 10 d'être tombé sur la bonne suite.

Pour être complet, calculons la probabilité Rk (R pour « réussite ») de tirer le bon numéro, ou le bon texte, au kième essai exactement. Cette quantité est le produit de la probabilité d'avoir échoué (k-1) fois, soit Pk-1, et de la probabilité de réussite au tirage de rang k, soit 1/N. D'après la formule (3), on a donc:

\begin{displaymath}R_k = \left[1-(1/N)\right]^{(k-1)} (1/N) .\end{displaymath} (5)

À partir de cette expression, il est facile de calculer le nombre moyen d'essais à effectuer pour réussir. Puisque la probabilité que l'essai numéro k soit le bon est Rk, le nombre moyen de tirages pour réussir est la moyenne de k pondérée par Rk, c'est-à-dire le nombre

M=R1 + 2 R2 + ... +k Rk + ... (6)

soit

\begin{displaymath}M=(1/N) \left\{ 1 + 2\left[1-(1/N)\right]
+ 3\left[1-(1/N)\right]^2 + ... + k\left[1-(1/N)\right]^{k-1} + ... \right\}\end{displaymath} (7)

Connaissant le développement limité

(1-x)-2 = 1 + 2x + 3x2 + ... + kxk-1 + ... (8)

obtenu par dérivation de

(1-x) = 1 + x + x2 + ... + xk + ... (9)

on trouve immédiatement, en « faisant » x=1-(1/N), que

M=N. (10)

Ce résultat résume bien la situation pratique. Lorsqu'on tire au sort une possibilité parmi N (une face de dé parmi N=6 faces ou un numéro de six chiffres parmi N=106 nombres différents, etc.) il faut effectuer un nombre d'essais du même ordre de grandeur que le nombre total de possibilités N pour avoir une chance non négligeable de gagner. De façon rigoureuse, le nombre moyen d'essais pour gagner est égal aux nombre de choix possibles. Ainsi, aux dés, il faut jeter son dé en moyenne six fois pour sortir une face donnée.

Mais pour sortir par hasard un texte parmi 101 000 000, il faudrait pouvoir faire 101 000 000 tentatives, un nombre qui sort des limites du réel.

Une curiosité pour finir: si vous changez de choix de numéro gagnant (celui qu'il faut trouver) en cours de route, vous n'augmenterez ni ne diminuerez la chance de le tirer par hasard. En effet, à chaque coup, quel que soit le nombre à trouver (qu'il soit ou non le même qu'avant), la chance de gagner sera toujours 1/N et la chance de perdre 1 - (1/N). Ainsi, au loto ou à la loterie, il est équivalent, stratégiquement parlant, de jouer toujours le même numéro ou d'en changer à chaque fois.


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Dernière modification : 25 octobre 2005

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