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Christian Magnan

   


Relativité générale

Christian Magnan


La relativité générale est une théorie de la gravitation. Élaborée par Einstein au début du XXe siècle elle est destinée à remplacer celle de Newton et adopte d’emblée un point de vue différent, que l’on peut qualifier de géométrique. Dans cette nouvelle approche la gravitation n'existe pas en un point mais se manifeste par une accélération de l'écart entre les trajectoires de deux particules libres voisines (trajectoires appelées « géodésiques »). La théorie d'Einstein engendre des effets nouveaux, non prévus par la théorie classique,  permet de traiter des champs de gravitation intenses (comme ceux des trous noirs) et de déterminer la géométrie de l’univers tout entier.

Nota : ce document a pour source le chapitre introductif du livre « Gravitation » de Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John Archibald  Wheeler (W.H. Freeman and Company, 1973) et s'inspire aussi de « Gravity: An introduction to Einstein's General Relativity » de James B. Hartle (Addison-Wesley, 2003), un livre terriblement pédagogique.




Chute libre

Dans la vision newtonienne une pomme tombe sous l’action d’une force. La description et le calcul de cette force forment l’objet de la théorie de la gravitation universelle. Dans la vision d’Einstein il n’y a plus de force. Au contraire la pomme tombe « librement », naturellement. On dit fort justement qu’elle est en « chute libre ». Le mouvement naturel de la pomme est de tomber, de suivre son chemin à travers l’espace, ou plutôt l’espace-temps. Dans cette façon d’envisager la gravitation ce qui n’est pas naturel au contraire c’est que la pomme s’arrête et vienne heurter le sol. C’est bien en butant contre le sol qu’un verre peut se casser, pas lors de la chute elle-même. Si des forces entrent en jeu, c’est celles qui s’exerceront sur le verre au point de le briser. Les forces de contrainte viennent du sol, pas de la force de gravitation.

La difficulté pour nous d’adopter cette vision nouvelle de la gravité est que nous ne sommes pas en état de chute libre, puisque nous vivons sur le sol terrestre. Pour s’affranchir de cette entrave et visualiser cette chute nous pouvons imaginer que nous sommes dans un ascenseur dont le câble s’est rompu, ou dans une fusée en train de tomber sur Terre. De façon moins risquée, nous pouvons aussi nous placer à l’intérieur d’un satellite en orbite autour de la Terre, c’est-à-dire à bord d’un satellite qui « tombe » mais d’une façon telle qu’il reste en orbite grâce à la vitesse horizontale qui lui a été communiquée au départ (tomber sans tomber sur Terre est également le cas de la Lune). Dans tous ces exemples de chute libre, l’objet, la particule, le corps considéré ou les objets intérieurs à la cabine spatiale suivent un trajet naturel dans l’espace-temps.

En bref la chute est l’état naturel du mouvement. Au contraire c’est le fait que le sol s’oppose à cette chute qui nous fait parler de force d’accélération et qui crée un obstacle à la compréhension de la théorie einsteinienne de la gravitation.

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Le principe de relativité

Une notion importante découlant de la précédente et servant à fonder la théorie de la relativité est celle de repère libre.

Un repère libre est un repère qui n’est soumis à aucune accélération (ou décélération) d’origine mécanique résultant par exemple de la poussée d’un moteur. À notre époque d’exploration de l’espace le meilleur exemple de repère libre nous est fourni par un engin spatial non soumis à la poussée d’un moteur. En effet, peu de personnes en ont conscience, mais les fusées et autres satellites se meuvent sans l’aide d’aucun moteur, sauf au moment de leur lancer (où ils subissent alors une accélération phénoménale capable des les propulser à la vitesse de satellisation nécessaire d'environ 7 kilomètres par seconde) et lors des phases de manœuvre. Une fois leurs moteurs coupés ils continuent leur course sur leur lancée et constituent des repères en chute libre de choix pour illustrer les concepts de base de la théorie relativiste de la gravitation. Le vaisseau spatial le plus fameux à l’heure actuelle est la station spatiale internationale, de la taille d’un terrain de football. Ce laboratoire géant abrite en permanence des astronautes et tourne autour de la Terre à une altitude de quelque 350 kilomètres. L’autre raison faisant de ces engins spatiaux des repères libres parfaits est qu’une fois en dehors de l’atmosphère, ils ne subissent  pas non plus de forces de freinage importantes de la part des particules de gaz rencontrées en chemin car la matière dans l’espace est très raréfiée (pour ce freinage il est juste de parler de « forces » s’exerçant directement sur les parois de l’engin).

Le principe de relativité affirme qu’à l’intérieur d’un tel repère libre et sur une période de temps suffisamment courte (un point à préciser par la suite) il n’est pas possible de mettre en évidence le mouvement de ce repère. Autrement dit pour la théorie relativiste ce mouvement ne possède pas de caractère absolu, ce qui revient à dire qu’il n’est pas détectable par mesures internes. Ce principe de relativité appliqué à des repères situés en dehors d’un champ de gravitation constituait la source de la théorie de la relativité restreinte. C’est en étendant, en généralisant, ce principe de non-détection du mouvement à un repère situé dans un champ de gravitation qu’Einstein a fondé la relativité générale.

À partir d’expériences conduites à l’intérieur d’une capsule spatiale, située ou non au voisinage d’une planète ou d’un satellite, et pendant une durée assez courte un physicien sera incapable de dire s’il se déplace à 5 kilomètres par seconde, à 10 ou 50, et dans quelle direction il avance. Cette question a un sens par rapport à un repère donné (la Terre, le Soleil…) et serait facile à résoudre en regardant cette Terre ou ce Soleil à travers un hublot mais elle n’en a pas de façon absolue, dans un habitacle sans communication avec l’extérieur.

Physiquement parlant cela signifie que les passagers de cette capsule peuvent se livrer à des expériences de mécanique sans se soucier le moins du monde de leur mouvement (sans que leur mouvement aient une influence sur leurs mesures). En somme on peut dire que tout se passe comme s’ils étaient « au repos ». Les physiciens peuvent développer leur physique à travers leurs calculs, leurs expériences, leurs résultats et l’interprétation de ces résultats sans tenir compte de leur état de mouvement. Un repère libre est un repère libre. Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les repères libres. Les résultats des expériences de physique sont donc aussi les mêmes. Tous les repères libres sont équivalents.

Si les expérimentateurs lancent des fléchettes, ces dernières iront en ligne droite et conserveront une même vitesse, sans subir de quelconque freinage. Admirons comme la physique est simple dans un tel laboratoire ! Alors qu’en observant la chute des corps à la surface de la Terre Galilée avait noté que les distances parcourues variaient comme le carré des temps de parcours ici, dans notre capsule, les distances parcourues sont (beaucoup plus simplement) proportionnelles aux temps de parcours. En deux fois plus de temps, une particule lancée dans une direction ira deux fois plus loin, sans changer de direction. La vitesse d’une particule est constante, et comme cas particulier, une particule initialement au repos reste au repos : dans le laboratoire en mouvement libre elle ne subit aucune accélération.

Autrement dit encore, à l'intérieur de la cabine, la physique est celle de la relativité restreinte. On dit aussi que la géométrie de l'espace-temps est celle de Lorentz-Minkowski. Et pour passer d'un repère libre à un autre repère voisin animé d'une certaine vitesse par rapport au premier, on utilise les formules de Lorentz.

Toutefois, et la suite de ce document précisera et développera ce point, en présence d’un champ de gravitation la non-détection du mouvement et la validité de la physique de la relativité restreinte dépendent de la taille de la région d’espace-temps explorée au cours de l’expérience et de la précision des mesures.

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Localement la gravitation est indétectable

Comme nous venons de le dire, la théorie de la relativité générale stipule que le principe de relativité s’applique à tout repère libre, que celui-ci soit ou non dans un champ de gravitation. Autrement dit la gravitation n’est pas détectable localement.

Dans leur satellite les occupants sont en état de non-pesanteur. Pour s’en convaincre il suffit de regarder les vidéos les montrant travailler dans leur habitacle, s’y déplacer et manipuler des objets : tout flotte, sans force s’exerçant sur les corps présents. Les spationautes peuvent encore effectuer des sorties dans l’espace : ils resteront libres de leurs mouvements. Grâce aux vols habités dans l’espace, l’état de non-pesanteur locale à l’intérieur d’un repère libre fait maintenant partie de l’expérience pour ainsi dire courante.

L’absence de détection locale du champ de gravitation est prouvée par de nombreuses autres situations concrètes. Dans un accélérateur de particules, ces dernières se déplacent à des vitesses avoisinant la vitesse de la lumière (par rapport au repère terrestre) et de ce fait n’ont pas le temps, pendant la durée de leur trajet, de tomber d’une quantité suffisante par rapport au repère terrestre pour incurver leur trajectoire et manifester un effet de gravité. En vérité, il n’est pas nécessaire de faire appel à la relativité générale pour écrire les lois physiques régissant le mouvement des particules dans un accélérateur. Les formules de la relativité restreinte, qui ignore la gravitation, suffisent. Les physiciens n’ont pas besoin de plus. Pour ces particules rapides tout se passe comme si l’attraction terrestre n’existait pas.

De même la difficulté, voire l’impossibilité, de détecter le mouvement de la Terre dans sa course autour du Soleil est à l’origine de l’immense quantité de temps et d’efforts qu’il aura fallu à l’humanité pour reconnaître à notre Terre la vérité de son mouvement orbital autour du Soleil. Ici encore ce qui est évident, naturel en quelque sorte, c’est la non-détection du mouvement, et également la non-détection de la gravitation solaire. Nous aurions du mal (nous avons du mal) à dire dans quelle direction la Terre se dirige dans l’espace et, dans un pièce aveugle, à dire où se trouve le Soleil, autour duquel pourtant nous savons que nous tournons.

Un autre exemple de non-gravité nous est fourni par une personne sautant en parachute d’une très haute altitude. Si on suppose que le parachutiste ne voit pas autour de lui, il lui est impossible de savoir dans quelle direction il tombe, c’est-à-dire impossible de dire où se trouve le sol qu’il va atteindre. Il ne pourra le savoir que lorsque le gaz atmosphérique le freinera, ce qui lui fera alors ressentir une décélération, notamment au moment de l'ouverture du parachute, mais la question n’est plus alors une simple question de champ de gravitation.

Une dernière situation montrant l’absence de gravitation dans un repère libre est celle d’un individu tombant dans un trou noir. Rien de spécial ne se passe pour lui, il ne pourra même pas dire qu’il va plus vite ou moins vite, il ne le ressent pas. (Nous apprendrons par la suite qu’il ressentira quelque chose quand il commencera à se sentir écartelé, quelle horreur, ses pieds commençant à s’éloigner de sa tête par suite d’un mouvement différentiel entre les différentes parties de son corps.)

Pour nombre d’applications courantes, la Terre est un repère libre dans lequel on peut appliquer la relativité restreinte sans faire appel à la relativité générale. Il y a cependant un contre-exemple notoire à cette règle. Sait-on en effet que les GPS (pour Global Positioning System), qui permettent de fixer la position d’une personne sur Terre, emploient dans leurs algorithmes de calcul internes les formules de relativité générale ? Ce qui compte ici, c’est la grande précision nécessaire dans la mesure des temps, et par conséquent la justesse nécessaire des formules employées. Les approximations ordinaires de la relativité restreinte fournissent, au degré de précision requis, des résultats faux. Il est assez facile de calculer les chiffres en jeu. La précision demandée sur la position du récepteur est de l’ordre de la vingtaine de mètres tandis que l’altitude des satellites émetteurs est de 20 200 kilomètres. Elle est donc de l’ordre du rapport de 20 m à 20 000 km, soit 10-6, ce qui correspondra pour un signal à un temps de l’ordre d’une centaine de nanosecondes.

On pourra encore remarquer dans ce dernier exemple que l’effet du champ de gravitation du Soleil est négligeable. Les corrections de relativité générale ne tiennent compte que du champ terrestre, ce qui est une preuve supplémentaire que la gravité du Soleil ne se fait pas sentir au degré de précision considéré. On sait très bien en revanche que l’attraction solaire se manifeste dans le phénomène des marées. Nous allons d’ailleurs montrer par la suite que la gravitation est précisément un effet de marée.

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La gravitation se traduit par des effets de marée

La leçon de la section précédente est que la gravitation ne se manifeste pas localement. Dans le cadre de la relativité générale la détection de cette gravitation dépend premièrement de la précision des mesures et exige deuxièmement que l’on compare les trajets dans l’espace-temps de deux particules-tests libres voisines.

Considérons deux telles particules-tests, par exemple deux pierres, lâchées au-dessus du sol sans vitesse initiale. Nous savons d’après la physique newtonienne que leur distance ne va pas rester constante. En effet, d’une part elles se  dirigent toutes deux vers le centre de la Terre, ce qui a tendance à faire diminuer la composante horizontale de leur séparation et d’autre part si une pierre était située à plus courte distance du centre de la Terre, cette pierre tombera plus vite que l’autre et aura donc tendance à s’éloigner d’elle. En somme la séparation entre deux particules-tests subit une certaine accélération : c’est ainsi, c'est seulement ainsi, que la gravitation se manifeste en relativité générale.

Prenons une particule A pour référence et considérons une particule voisine B dont la position sera repérée par les composantes (ξx, ξy, ξz) du vecteur AB dans un repère orthonormé d’origine A dont l’axe Oz est situé dans la direction radiale OA, O étant le centre de la Terre. Montrons que la grandeur de l'accélération de la séparation entre les trajectoires de deux particules libres au voisinage de la Terre est donnée par les formules :

formule

M est la masse de la Terre.

 


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Deux particules tombant librement vers le centre de la Terre voient leur trajectoires se rapprocher, et ce de façon non linéaire. La présence du champ de gravitation de la Terre se traduit par le fait que l'écartement de leurs trajectoires subit une accélération (au sens algébrique).

Quand les deux particules sont séparées par une distance tranversale ξ perpendiculaire au rayon (donc perpendiculaire à l'axe Oz), l'angle entre les deux rayons est égal à (ξ/r). Comme l'accélération newtonienne radiale est GM/r2, l'accélération transversale est

d2ξ/dt2 = -(GM/r2) (ξ/r)

où le signe « moins » exprime que l'accélération joue dans le sens d'un rapprochement des particules-tests.

chute deux particules
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Deux particules en chute libre le long d'un même rayon subissent un éloignement progressif non proportionnel au temps. La présence du champ de gravitation terrestre se traduit encore dans ce cas par une accélération de la distance mutuelle entre les particules-tests.

 

Quand les particules sont séparées par la distance ξz le long d'un rayon, la différence entre l'accélération newtonienne au point r et au point (r+ξz) est égale à

d2ξz/dt2 = 2(GM/r3) ξz

Cette accélération radiale joue dans le sens d'un éloignement des particules (au voisinage d'une masse un corps subit des forces de marée qui ont tendance à le briser par étirement).

Nous avons ainsi démontré les formules anoncées ci-dessus. Avec ces expressions nous possédons le moyen de faire un « test de platitude ». Voyons par exemple dans quelle mesure la station spatiale peut être considérée comme un repère dénué d'effets gravitationnels. La station est située à une altitude de quelque 350 kilomètres. La masse de la Terre est M = 6×1027 grammes, son rayon est de 6 366 kilomètres et la constante G de la gravitation universelle vaut 6,7×10-8 dans le système CGS. Prenons deux billes séparées de 1 mètre dans le sens vertical et dans le sens horizontal (on repèrera les directions en pointant la Terre). Les formules indiquées ci-dessus fournissent alors les valeurs suivantes de l'accélération

γx = - 1,3×10-4 (cm/s)/s
γz = 2,6×10-4 (cm/s)/s

Dans le laps de temps dt, l'écartement des deux billes varie de la quantité (1/2)(dt)2, ce qui conduit aux valeurs

dξx = -0,07 mm
et
dξz = 0,14 mm

En gros on peut donc dire qu'en 10 secondes de temps dans la station internationale, les distances entre particules libres varient de 10-4. Si la précision des appareils est supérieure à cette limite, l'espace-temps ne sera plat qu'à la condition que l'expérience se passe sur une échelle temporelle ou spatiale plus petite. En revanche, il est clair qu'à l'échelle humainement perceptible, l'influence gravitationnelle de la Terre est négligeable.

Une remarque s'impose à propos de ce calcul. Nous avons raisonné comme s'il existait un temps absolu, et cela peut paraître injustifié en relativité. En fait, la vitesse des particules considérées est tellement faible que la différence entre le temps propre de ces particules et le temps mesuré dans le repère de la station internationale est absolument insignifiante, puisque l'on sait qu'elle dépend du fameux facteur de Lorentz [1 - (v/c)2]1/2 et que le rapport (v/c)2 est de l'ordre de 10-20.

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La courbure de l'espace-temps

Nous venons d’apprendre que la gravitation se manifeste par un effet de marée entre deux particules libres voisines, autrement dit par une accélération de la séparation entre les trajectoires de ces deux particules. Mais quel rapport y a-t-il entre « effet de marée » et « courbure » ?

Pour commencer, la façon géométrique de caractériser le mouvement d’une particule libre est de dire que cette particule suit une « géodésique » de l’espace-temps. En somme on peut dire que suivre une géodésique, c’est aller « tout droit », c’est-à-dire sans que le trajectoire ne subisse aucune force.  Sur une surface sphérique à deux dimensions aller tout droit (on peut penser à une fourmi poursuivant son chemin sans dévier de sa route) est suivre un grand arc de cercle. Entre deux points, la plus courte distance (ou distance à vol d’oiseau, ou distance orthodromique) est mesurée par l’arc AB du grand cercle passant par A et B.

écartement de deux géodésiques
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Sur une sphère la séparation de deux géodésiques voisines varie lorsqu’on avance de la distance s sur leur trajet selon la loi
ξ = ξ0 cos (s/a)
a représente le rayon de la sphère.

 

Examinons de plus près les géodésiques (c’est-à-dire les grands cercles) de cette surface sphérique. À partir d’une géodésique donnée prise pour référence considérons en un point origine de celle-ci une seconde géodésique parallèle à la première et située à la distance ξ0. Si on avance sur elles d’une distance s, les deux géodésiques ne restent pas parallèles l’une à l’autre. Leur séparation ξ diminue selon la formule

ξ = ξ0 cos θ = ξ0 cos (s/a) ,

a est le rayon de la sphère.

Cette formule se déduit du calcul relatif à la figure plus traditionnelle suivante illustrant la distance entre deux plans méridiens formant un angle Δφ en fonction de la latitude θ.
géométrie sphérique
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Distance entre deux méridiens terrestres voisins en fonction de la latitude θ.

La distance entre les deux méridiens voisins est

ξ0 = a Δφ
à l'équateur et
ξ = (a cos θ) Δφ = (a cos θ) (ξ0/a) = ξ0 cos θ


à la latitude θ. Cette latitude

θ = (s/a)

correspond à l'angle de la première figure sur laquelle on calculait l'écartement de deux géodésiques voisines.

Le fait capital pour la théorie est que l'écartement de deux géodésiques voisines satisfait à l'équation de séparation des géodésiques suivante

d2ξ / ds2 + = 0

R = 1 / a2 est ce que l’on appelle la courbure de Gauss de la surface. En effet

dξ/ds = - ξ0 cos θ (dθ/ds)2 = - ξ0 cos θ (1/a)2

En théorie de la relativité générale la forme générale de l'équation donnant l'accélération de la séparation de deux géodésiques voisines est la même mais avec la différence essentielle suivante. Sur la surface sphérique à deux dimensions de l’exemple précédent, la distance entre deux géodésiques était un simple nombre réel dans la mesure où la direction selon laquelle on mesurait cette séparation était fixée par la condition d’être perpendiculaire à la géodésique de référence. Dans l’espace-temps à quatre dimensions de la relativité lorsque l’on avance sur la géodésique non seulement la longueur de la séparation peut changer mais encore sa direction. Par conséquent pour préciser l’accélération de la géodésique voisine par rapport à la géodésique de base il est nécessaire de faire appel à un vecteur ξ à quatre composantes. Comme paramètre mesurant la distance parcourue sur la géodésique le plus commode et le plus physique à choisir est le temps propre τ de la particule libre supposée « tomber » le long de cette géodésique. Nous noterons D2ξ/dτ2 l'accélération de la séparation ξ, qui aura pour composantes les quatre nombres (D2ξ/dτ2)α où l'indice α peut prendre les quatre valeurs (0, 1, 2, 3) représentant respectivement les coordonnées (t, x, y, z).

Le calcul de la dérivée d'un vecteur est à la base de la théorie de la relativité générale et c'est dans ce calcul que se manifeste la courbure de l'espace ou de l'espace-temps. Voyons en quoi ce calcul diffère du calcul de la dérivée d'une fonction. Considérons une fonction f(t, x, y, z) dans l'espace-temps à quatre dimensions, que nous noterons f(xα). Considérons d'autre part une courbe xα(τ) (ici ce sera une géodésique). Les formules élémentaires d'algèbre nous permettent d'écrire la dérivée de la fonction f le long du trajet comme

formule2

On écrit cette expression sous la forme

formule3

ou encore plus simplement comme

formule4

en adoptant la convention de sommation bien connue stipulant que l'on effectue une sommation sur les indices dits « muets » apparaissant à la fois en position supérieure et en position inférieure.

Précisons qu'en relativité, par convention courante, les indices des lettres grecques (comme α, β, γ, …) prennent les valeurs 0, 1, 2, 3 et les indices latins tels que i, j, k , les valeurs 1, 2, 3.

Quand on passe à un vecteur v on pourrait penser appliquer la formule ci-dessus à chaque composante vα de ce vecteur. Mais avant de pouvoir définir correctement la dérivée d'un vecteur il faut surmonter la difficulté majeure suivante : en général la dérivée (∂vα/∂xβ) de la composante vα du vecteur v le long du trajet xβ(τ) n'est pas égale à la composante selon l'axe α de la dérivée du vecteur le long du même trajet. En effet pour calculer la dérivée d'un vecteur on fait la différence entre le vecteur en un point voisin et le vecteur au point origine. Mais pour effectuer correctement cette opération il faut ramener au point origine le vecteur déplacé en le conservant parallèlement à lui-même. On parle de « dérivée covariante » à propos de cette dérivée en transport parallèle. C'est seulement dans le cas où l'espace est plat et que les coordonnées sont rectangulaires que le transport parallèle du vecteur implique l'absence de variation des composantes du vecteur. Mais dans les autres cas, les composantes du vecteur peuvent varier sans que le vecteur lui-même change de direction ou de longueur.

La figure ci-dessous illustre la difficulté dans le cas d'un espace plat à deux dimensions et montre que lorsque l'on déplace un vecteur parallèlement à lui-même d'un point à un autre du plan, ses composantes en coordonnées polaires varient.

figureE
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Bien que le vecteur v ait été transporté parallèlement à lui-même du point B(xα + ξα) au point origine A(xα), ses composantes polaires vr et vθ ont changé.

Au final, on peut dire de façon sommaire que la composante selon l'axe β de la dérivée du vecteur v quand on se déplace le long de l'axe α est la somme de deux termes, le premier tenant compte du changement de la composante vβ et le second venant du changement des vecteurs de bases dans ce déplacement. Puisque l'on effectue des déplacements infinitésimaux ξα, ces derniers changements s'exprimeront sous forme linéaire des déplacements eux-mêmes. On arrive ainsi à une formule du type suivant (où le membre de gauche est écrit sous une forme peu correcte mais toutefois explicite)

formule5

qui conduit à la dérivée covariante de ξ le long de la géodésique

formule6

Les coefficients formule7 servant à calculer une dérivée covariante (à transport parallèle) sont appelés les symboles de Christoffel. Ces quantités s'annulent dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace-temps plat (celui de la relativité restreinte) ou d'un repère en chute libre en présence de gravitation et on retombe dans ce cas sur les formules de la dérivée ordinaire.

Cette formule permet de retrouver l'équation d'une géodésique. Une géodésique est une courbe sur laquelle on va « tout droit » , c'est-à-dire sans changer sa direction de propagation. Mais la direction de propagation est donnée par la tangente à la courbe xα(τ), vecteur dont les composantes sont

formule12

Dire que ce vecteur ne change pas de direction est dire qu'il est transporté parallèlement à lui-même le long de la géodésique. Cela signifie que sa dérivée covariante le long de la géodésique est nulle. Dans la formule ci-dessus donnant cette dérivée covariante il suffit de prendre pour vecteur déplacement ξ le vecteur tangent u pour arriver à la formule d'une géodésique

formule8

qui s'écrit encore

formule9

En fonction des coordonnées xα et de leurs dérivées premières et secondes l'équation des géodésiques devient :

formule10

Considérons une géodésique voisine de la première. Le vecteur ξ représentant la séparation entre les deux géodésiques connecte un point xα(τ) de la géodésique de référence au point xα(τ) + ξα(τ) de la géodésique décalée au même instant de temps propre τ. La seconde géodésique satisfait à l'équation

formule11

En développant cette équation au premier ordre en ξα et en tenant compte de l'équation de la géodésique de référence, on obtient

formule13

En tenant compte de l'expression déjà écrite de la dérivée d'une fonction par rapport à τ

formule4

de la symétrie formule14 des symboles de Christoffel et de la notation arbitraire des indices muets, on peut encore écrire la différence entre les équations des deux géodésiques voisines comme

formule15

Nous avons en main les outils nécessaires pour calculer une courbure. En effet dans le point de vue géométrique d'Einstein, la courbure, c'est l'accélération de la séparation de deux géodésiques voisines. Pour calculer cette accélération il suffit d'appliquer à la dérivée de la séparation une dérivation covariante supplémentaire (en remplaçant ξ par Dξ/dτ). Le calcul, entièrement développé en appendice, aboutit au résultat suivant

formule16

formule17est le tenseur de Riemann. Dans le cadre de la relativité générale c'est ce tenseur qui représente la courbure, au sens fort du terme, ce qui signifie que ce tenseur possède une signification physique profonde.

Dans le cadre de la théorie de la gravitation à la Einstein l'équation précédente régissant la séparation entre deux géodésiques traduit entièrement l'effet de la matière sur la géométrie de l'espace-temps.

En nous référant au calcul de l'accélération entre deux particules libres au voisinage d'une masse effectué plus haut en théorie newtonienne, évaluons les composantes du tenseur de Riemann les plus utiles au voisinage d'un corps tel que la Terre ou le Soleil pour des particules de vitesse non relativiste. Lorsque la vitesse des particules libres suivies est petite devant la vitesse de la lumière, parmi les quatre composantes du quadrivecteur vitesse dxα, c'est-à-dire (dx0/dτ, dx1/dτ, dx2/dτ, dx3/dτ), ou (dt/dτ, dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ) seule la composante dt/dτ compte car elle est pratiquement égale à l'unité tandis que les trois autres composantes sont négligeables car de l'ordre de v/c. Autrement dit dans l'équation tensorielle de courbure ci-dessus on ne conserve que les termes uβ pour lesquels β = 0, ce qui fournit les trois équations relatives aux composantes spatiales ξk avec k=1, 2, 3 :

En comparant avec les formules newtoniennes écrites ci-dessus, on trouve que la courbure au voisinage d'une masse M est caractérisée aux faibles vitesses par les composantes suivantes du tenseur de Riemann :

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Le tenseur d'énergie-impulsion : source de la courbure

Nous avons décrit la façon dont la courbure de l'espace-temps guide le mouvement de particules libres. L'origine de cette courbure réside dans la présence de masse et d'énergie. La théorie caractérise et mesure le contenu de l'espace-temps en matière-énergie à l'aide du tenseur d'énergie-impulsion que nous allons décrire ici.

Dans la vision relativiste l'espace-temps est comme un fleuve de quadrivecteurs énergie-impulsion. En effet pour la physique moderne le monde est composé de particules, chacune étant caractérisée par sa masse au repos m, sa vitesse u et son quadrivecteur énergie-impulsion (ou quantité de mouvement) p = u. Il s'agit bien en outre d'un fleuve de quadrivecteurs dans la mesure où le temps s'écoule et où par conséquent toutes les lignes d'univers avancent dans le sens du temps. Comme il est impossible à la physique de prendre en compte toutes les particules séparément, elle adopte parallèlement un point de vue macroscopique en fixant son attention non plus sur ces particules individuelles mais sur un petit volume du milieu et en calculant des quantités moyennes. C'est le but de la théorie cinétique des gaz de passer des propriétés microscopiques aux propriétés macroscopiques. Nous rappelons ici l'analyse de l'hydrodynamique des fluides selon la physique pré-relativiste pour montrer ensuite comment elle se généralise dans le cadre de la théorie d'Einstein.

En théorie cinétique on s'intéresse à des fluides comportant un nombre de particules suffisamment grand pour que l'on puisse introduire des moyennes de quantités physiques. Cela est vrai également pour les volumes « infinitésimaux » dxdydz que le formalisme prend comme base de départ et suppose donc que le fluide n'est pas trop raréfié. En particulier les collisions entres particules doivent pouvoir établir une certaine équipartition entre les diverses formes d'énergie.

Dans ces conditions, considérons un ensemble de particules identiques mais de vitesses individuelles désordonnées différentes. On introduit la fonction telle que le nombre de particules de l'élément de volume dxdydz ayant des composantes de vitesses comprises entre u et u + du, v et v + dv, w et w + dw puisse s'écrire

n f dx dy dz du dv dw,

n représentant le nombre de particules par unité de volume au point (xyz). La quantité est une certaine fonction de la vitesse (uvw), du point (xyz) et du temps t. Elle mesure la probabilité pour qu'une particule ait une certaine vitesse et se nomme la fonction de distribution des vitesses.

Pour établir les équations de l'hydrodynamique des fluides, il faut analyser les forces s'exerçant sur les éléments du milieu considéré. Toujours dans la vision pré-relativiste on considère un volume du milieu délimité par une surface fermé S et on divise les forces s'exerçant sur ce volume en deux catégories, celles qui agissent sur les masses intérieures au volume et celles qui s'exercent sur la surface S. Ces dernières sont des forces superficielles résultant de l'action des particules contenues dans les éléments voisins de S. Mais d'après la formule de Newton liant force et quantité de mouvement, on sait qu'une force représente une variation de quantité de mouvement par unité de temps

F = Δpt.

Par conséquent le calcul d'une force s'exerçant sur un élément de surface dS  se ramène au calcul de la quantité de mouvement transférée à travers cette surface élémentaire dS. La figure ci-dessous illustre la situation.

figure
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Les particules de vitesse traversant la surface dS pendant le temps dt sont contenues dans le cylindre de hauteur w dt et de base dS.
Elles transportent avec elles la quantité de mouvement mu dans la direction de l'axe Ox, mv dans la direction de l'axe Oy et mw dans la direction de l'axe Oz.

La fonction de distribution des vitesses permet d'exprimer facilement le transfert de la quantité de mouvement. Considérons en effet les particules dont la vitesse est comprise entre u et u + du, v et v + dv, w et w + dw. Celles qui traversent l'élément d normal à w pendant le temps dt sont au nombre de

n w dt dS f(u, v, w) du dv dw.
chacune apportant sa quantité de mouvement mu, mv et mw le long des trois axes. Par exemple la quantité de mouvement totale par unité de temps transférée le long de l'axe des v est :
∫∫∫ m v n w dS f(u, v, w) du dv dw .

En introduisant la valeur moyenne <vw> du produit vw et en se souvenant qu'une pression est une force par unité de surface, on obtient l'expression de la pression tangentielle Pyz comme

Pyz = n m <vw> = ρ <vw> ,

ρ étant la densité de masse, c'est-à-dire la masse par unité de volume (le terme de « densité » est quelque peu impropre mais c'est celui qui est employé).

On a de la même façon

Pxz = ρ <uw> ,
Pzz = ρ <ww> ,

Les pressions tangentielles Pyz, Pxz et Pxy traduisent la viscosité du fluide tandis que Pzz est la pression normale « ordinaire ».

Considérons maintenant une surface dS de vecteur normal n(α1, α2, α3) et examinons comment varient les forces s'exerçant sur cet élément de surface suivant ses diverses orientations possibles. La figure ci-dessous représente une telle surface triangulaire ABC dont les projections perpendiculairement aux axes Ox1, Ox2 et Ox3, à savoir les triangles MBC, MCA et MAB, seront respectivement

dS1 = α1 dS ;   dS2 = α2 dS ; dS3 = α3 dS .

figure
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La surface ABC d'aire dS dont la normale n a pour cosinus directeurs α1, α2, α3 se projette suivant les directions perpendiculaires aux axes Ox1, Ox2, Ox3 selon les triangles MBC, MCA et MAB d'aires respectives
dS1 = α1 dS
dS2 = α2 dS
dS3 = α3 dS .

La force superficielle s'exerçant sur dS est équilibrée par la somme des forces agissant sur ces trois faces opposées.

Soit T dS la force superficielle exercée sur dS par les éléments intérieurs au volume MABC. La force exercée par les éléments extérieurs est donc -T dS. Elle est équilibrée par la somme des forces s'exerçant sur ces trois faces opposées, que nous pouvons noter respectivement

Θ1 dS1,   Θ2 dS2,   Θ3 dS3.

En écrivant que les forces sont en équilibre, et en divisant l'égalité ainsi obtenue par dS on arrive à la formule donnant la force exercée sur cette surface dS, par unité d'aire, comme

T = α1 Θ1 + α2 Θ2 + α3 Θ3.

En reprenant l'interprétation d'une force comme le transfert par unité de temps d'une quantité de mouvement et son calcul en théorie cinétique des gaz présenté ci-dessus, les composantes des vecteurs Θ peuvent s'écrire

Θ1 = (Pxx, Pxy, Pxz) = (ρ<uu>, ρ<uv>, ρ<uw>),
Θ2 = (Pyx, Pyy, Pyz) = (ρ<vu>, ρ<vv>, ρ<vw>),
Θ3 = (Pzx, Pzy, Pzz) = (ρ<wu>, ρ<wv>, ρ<ww>).

On peut écrire encore plus simplement

Θij = ρ <ui u j>.
Ces expressions montrent que le tenseur des pressions et tensions est symétrique. Quand les forces de viscosité sont nulles, on dit que l'on a affaire à un fluide parfait. Dans ce cas on observe une pression P constante en chaque point, indépendante de l'orientation de la surface et normale à cette surface. Le tenseur des pressions et tensions se réduit alors aux termes diagonaux
Θij = δij P.

Outre l'expression de Θij le résultat fondamental de cette analyse est que la force de pression normale et latérale sur un élément de surface donné est une fonction linéaire des composantes α1, α2, α3 de la normale à la surface considérée. Ce résultat est manifestement indépendant du système de coordonnée envisagé. C'est la force du formalisme tensoriel de nous permettre d'écrire des équations tensorielles en utilisant cette propriété d'invariance par changement de coordonnées.

Passons maintenant au cadre relativiste. Chaque particule libre suit sa ligne d'univers xα(τ) où les coordonnées x0, x1, x2, x3 représentant respectivement t, x, y, z sont données en fonction du temps propre τ. Cette particule est caractérisée par sa masse au repos m, son quadrivecteur vitesse dx/dτ noté

u = uα = (ut, ux, uy, uz) = (ut, ui) = (γc, γvi)
et son quadrivecteur énergie-impulsion
p = mu = (mγc, mγvi) = (E/c, pi).
γ est le facteur de Lorentz
γ = [1 - (v2/c2)]-1/2,
vi = (vx, vy, vz) représente le vecteur vitesse à trois dimensions et pi = (px, py, pz) la quantité de mouvement correspondante .

Le fleuve d'énergie-impulsion de n particules est formé de l'ensemble des quadrivecteurs individuels d'énergie impulsion. Sur le modèle de la théorie cinétique des gaz et du tenseur des pressions et tensions les physiciens ont été amenés à construire le tenseur d'énergie-impulsion en un point du milieu considéré comme la somme sur les n particules du produit tensoriel de son quadrivecteur énergie-impulsion p par son quadrivecteur vitesse u selon la formule

formule21

où la fonction de Dirac δ ainsi que x sont à trois dimensions. En généralisant le calcul pré-relativiste précédent on aboutit à la représentation suivante de ce tenseur d'énergie-impulsion relativiste.

Tout d'abord les composantes Tij, où i et j représentent les trois coordonnées spatiales, sont les équivalents directs des composantes non-relativistes du tenseur Θij des pressions et tensions de la mécanique des fluides. En effet si on prend un ensemble de particules toutes identiques en nombre n par unité de volume par rapport à un repère dans lequel le fluide est au repos, l'expression générale du tenseur d'énergie-impulsion devient

Tij = n <pi u j> ≡ ρ<ui u j>

comme dans le cas classique. Le terme Tij est le transfert par unité de surface perpendiculaire à j et par unité de temps d'une quantité de mouvement, c'est-à-dire une force par unité de surface, ou encore une pression. Si i = j la force (ou la pression) est normale à la surface, sinon elle est transversale et représente une tension.

Le cas des termes contenant une composante α ou β de nature temporelle, c'est-à-dire égale à 0 ou à t, est un peu différent.

Le terme T00 est donné par la formule

T00Ttt = n <pt ut> = (nmγc)(γc) ≡ n m c2 = n E


dans le repère où la vitesse d'ensemble est nulle, avec γ = 1. Par conséquent le terme (t, t) du tenseur d'énergie-impulsion représente la densité de masse-énergie.

Les termes non diagonauxTtjet T jt s'écrivent

Ttj = n <pt u j> ≡ n m γ c <u j> ≡ n m γ c2 <u j>/c
et
T jt = n <p j> γ c.

Ces termes sont égaux (et d'ailleurs nuls dans le repère où le fluide est au repos). On peut voir ces termes indifféremment comme un flux d'énergie nmc2<u j> (le produit d'une densité d'énergie par la composante j de la vitesse moyenne du fluide) ou une densité de quantité de mouvement n<p j> (les facteurs c n'interviennent pas directement puisqu'ils ne servent que de facteurs de conversion entre les secondes et les centimètres, mais leur présence permet de vérifier l'homogénéité des formules, les composantes du tenseur ayant pour dimension ML-1T-2).

En résumé les composantes Tαβ du tenseur d'énergie-impulsion sont les suivantes :

Dans le repère local libre inertiel du fluide ce tenseur se réduit à une expression simple pour un fluide parfait car dans ce cas, par définition, les termes non diagonaux, qui représentent des forces transversales de tension ou cisaillement, sont nuls. Le tenseur d'énergie impulsion prend alors la forme diagonale

Tαβ = diag (ρ, p, p, p) .

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L'équation d'Einstein

La gravitation se manifeste par la courbure de l'espace-temps, laquelle se traduit par l'accélération de la séparation entre deux particules-tests voisines. Cette courbure résulte de la présence de matière et d'énergie et se mesure par le tenseur de courbure. De son côté la densité de matière-énergie, qui est donc la source de la courbure, se mesure par le tenseur d'énergie-impulsion. L'équation d'Einstein établit l'équivalence entre courbure et matière-énergie en écrivant qu'en tout point la mesure de la courbure de l'espace-temps est égale à la mesure de son contenu en matière-énergie. En substance, cette équation se présente donc sous la forme :

mesure de la courbure locale de l'espace-temps = mesure du contenu de matière-énergie par unité de volume

Algébriquement parlant, le membre de gauche de l'équation est dérivé du tenseur de Riemann tenseur Riemannintroduit plus haut et constitue une sorte de moyenne de ce dernier sur toutes les directions. On l'appelle le tenseur d'Einstein G. Le membre de droite contient le tenseur d'énergie impulsion T décrit ci-dessus. Entre ces deux tenseurs on a la relation d'Einstein

G = (8π G / c) T

dans laquelle G est la constante de la gravitation, le facteur c4 intervient dès que l'on exprime les longueurs et les temps dans des unités différentes et le facteur 8π s'introduit comme le coefficient permettant de raccorder la théorie de la gravitation de Newton à celle d'Einstein dans la limite où les effets relativistes peuvent être négligés (notamment les effets de modification du temps lors d'un changement de repère).

Montrons comment s'écrit cette formule dans un cas simple et comment s'introduit ce facteur 8π. Dans ce but considérons un trou traversant la Terre de part en part en passant par son centre et étudions le mouvement d'une particule test abandonnée à elle-même dans ce tunnel. Quand elle est située au rayon r, cette particule subit l'attraction de la masse terrestre contenue dans la sphère « intérieure » de rayon r. En supposant que la densité de la Terre est uniforme et de valeur ρ la masse de cette sphère attractive est

M(r) = (4π/3) rρ

et par conséquent l'accélération subie par la particule libre est
d2r/dt2 = G M(r) / r2 = (4π/3) G ρ r .

Il en résulte qu'une particule libre lâchée dans le trou décrit un mouvement sinusoïdal

r = R sin (ω t + φ)

de fréquence angulaire
ω = (4π/3) G ρ .

Il en résulte aussi que si on considère deux particules libres suivant chacune sa géodésique de l'espace-temps, leur séparation (ξ xξ yξ z ) satisfera à l'équation

d2ξ j/dt2 = (4π/3) G ρ ξ j .

En comparant cette équation à l'équation des géodésiques déjà écrite, à savoir


et en se plaçant dans le cas newtonien non-relativiste, on en déduit les composantes suivantes du tenseur de courbure de Riemann

On aboutit donc à la relation

Comme le tenseur d'Einstein dérive directement du tenseur de courbure de Riemann et que le tenseur d'énergie-impulsion contient précisément des termes proportionnels à ρ, il est clair que la dernière relation ci-dessus a exactement la structure de l'équation d'Einstein et représente ce à quoi doit se réduire cette équation d'Einstein dans la limite newtonienne. En tenant compte des définitions exactes des tenseurs G et T, on arrive à la forme de la relation d'Einstein indiquée plus haut, incluant le facteur 8πG (aux puissances de c près).

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L'équation d'Einstein pour un modèle cosmologique homogène et isotrope

Une application particulièrement intéressante de l'équation d'Einstein est fournie par le modèle cosmologique homogène isotrope appelé modèle FRW (pour Friedmann, Robertson et Walter). Décrivons les équations de ce modèle.

La surface d'une sphère de rayon a est un espace à deux dimensions immergé dans l'espace ordinaire à trois dimensions (xyz) de la géométrie euclidienne. Elle a pour équation

x2 + y2 + z2 = a2 .

D'une façon analogue, l'espace à trois dimensions qui nous entoure peut être imaginé comme immergé dans un espace fictif à quatre dimensions (xyzw) et considéré comme une hypersurface sphérique à trois dimensions d'équation

x2 + y2 + z2 + w2 = a2 .

De même qu'un point à la surface de la Terre peut être repéré commodément par les deux angles que sont la latitude et la longitude, de même un point de l'espace peut être repéré par trois angles χ, θ et φ, où χ mesurera la distance dans le sens de la profondeur radiale tandis que θ et φ fixeront la direction de ce point. Sur l'hypersphère fictive représentant notre espace les quatre coordonnées d'un point de notre espace à trois dimensions seront données par les formules suivantes, constituant la généralisation des formules euclidiennes de la géométrie sphérique :

x = a sin χ sin θ cos φ
y = a sin χ sin θ sin φ
z = a sin χ cos θ
w= a cos χ

où les intervalles de variation des angles sont 0 ≤ χ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.

Le carré de la distance entre deux points voisins de l'espace fictif à quatre dimensions, soit

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2 ,

permet d'écrire le carré de la distance élémentaire dans notre espace à trois dimensions comme
ds2 = a2 [ d χ2 + sin2χ (dθ2 + sin2θ dφ) ].

Cet espace à trois dimensions est fini (on dit aussi « fermé »), bien que n'ayant pas de limite (comme l'est aussi la surface à deux dimensions d'une sphère plongée dans un espace à trois dimensions). Son volume total est égal à

formule26

La métrique de Robertson-Walker d'un univers fini homogène et isotrope s'écrit

ds2 = - c2 dt2 + a2(t) [ d χ2 + sin2χ (dθ2 + sin2θ dφ) ]

a est une longueur que l'on appelle le « rayon de l'univers ». Ce rayon est une fonction du temps. Nous verrons plus loin qu'il augmente dans une première phase, ce qui signifie que l'univers est en expansion, puis diminue dans une seconde phase après être passé par un maximum, ce qui signifie que l'univers se recontracte.

En choisissant les axes t, χ, θ et φ on peut encore écrire la métrique sous la forme

formule27

où le tenseur métrique g est diagonal de composantes
formule28

À partir des composantes gαβ on peut calculer directement les symboles de Christoffel et les composantes du tenseur d'Einstein G. On obtient (vous pouvez me croire sourire )

Considérons le cas d'un univers dont le contenu de matière-énergie est dominé par la matière, ce qui est d'ailleurs le cas de notre Univers actuel. Alors le tenseur d'énergie-impulsion se réduit approximativement à celui d'un fluide parfait de pression nulle, le seul terme non nul étant la densité ρ d'énergie de masse des galaxies. Dans ces conditions l'équation d'Einstein se traduit pas les formules suivantes

Gtt = (8π G ρ/c2)   et   Gχχ = Gθθ = Gφφ = 0

qui se ramènent à

En multipliant par a les deux membres de la première équation, en en prenant la dérivée par rapport à t et en tenant compte de la seconde formule, on montre que la quantité ρa3 est constante, ce qui traduit le fait que la masse totale de l'Univers, à savoir

M = 2 π 2 ρ a3

est constante.

En faisant maintenant le changement de variable

c dt = a dη

et en posant
A = (4/3π) (GM/c2)

on aboutit à la représentation paramétrique de l'évolution du rayon a de l'univers avec le temps t sous la forme très simple

Concrètement on voit que la quantité A représente la valeur maximum du rayon a de l'univers, atteinte lorsque l'angle η vaut π.

Cet angle η, qui est parfois appelé « temps conforme » (conformal time en anglais), a une signification physique simple. D'après la définition « c dt = a dη » la quantité a dη représente la distance parcourue par la lumière pendant le temps dt. Mais nous avons vu plus haut qu'on peut exprimer les distances à l'aide de coordonnées angulaires (semblables à une latitude ou longitude à la surface de la Terre), la formule permettant de passer de la coordonnée linéaire radiale r à la coordonnée angulaire χ radiale étant :

r = a χ .

En somme dη représente la distance parcourue par la lumière pendant le temps élémentaire dt lorsqu'on exprime cette distance par une coordonnée angulaire, laquelle est donc égale au rapport de la distance linéaire cdt au rayon a de la sphère fictive à quatre dimensions dont notre espace à trois dimensions serait la surface. (De façon similaire un bateau naviguant à la surface de la Terre de rayon R à la vitesse v le long d'un méridien parcourra la latitude dθ =v dt/R pendant le temps dt.)

Comme l'horizon cosmologique est par définition situé à une distance telle que la lumière issue de cette limite a mis un temps égal à l'âge de l'univers pour nous parvenir, l'angle η représente le paramètre angulaire de distance de cet horizon puisqu'il mesure la somme des dθ successifs accumulés par un photon depuis le big bang à t = 0. Par exemple lorsque η vaut π/2, cela signifie que la moitié de l'univers a été explorée en profondeur. Lorsque η vaut π, l'univers finit de se dévoiler et devient entièrement visible. Cet instant correspond également au moment où il atteint son rayon maximum, avant de commencer à se contracter. Incidemment on peut penser que la valeur actuelle de η est de l'ordre de l'unité pour notre propre Univers. Pour étayer cette hypothèse on peut s'appuyer sur un argument « copernicien » selon lequel nous ne nous situons pas à un moment particulier de la vie de notre Univers, lequel n'est ni très jeune (avec un η voisin de 0) ni très avancé dans son expansion (avec un η voisin de π).

Remarquons enfin qu'en passant du temps cosmique t au temps conforme η on obtient la métrique de Robertson-Walker sous la forme suivante :

ds2 = a2(η) [-dη2 + d χ2 + sin2χ (dθ2 + sin2θ dφ)] .

Cette métrique est proportionnelle à celle d'un espace-temps plat et se trouve comme "conforme" à la métrique de Minkowsi correspondante : c'est ce qui justifie l'emploi du terme de "temps conforme" pour le paramètre angulaire η. On retrouve clairement sur cette forme de la métrique le fait qu'un photon se propageant radialement par rapport à nous, et dont le trajet est défini par
ds2 ≡ a2(η) (-dη2 + d χ2) = 0,

parcourt la distance radiale angulaire dχ = ± dη pendant le temps dη = cdt/a.

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Annexe : calcul de la séparation de deux géodésiques et du tenseur de Riemann

Nous développons ici le calcul complet du tenseur de coubure de Riemann en relativité générale (en suivant la présentation lumineuse de J.B. Hartle). Sous un aspect complexe l'algèbre est facile à suivre car il ne s'agit que d'appliquer des règles de dérivation élémentaires et et de mettre en pratique une gymnastique d'indices finalement simple. Le développement qui suit représente un vrai calcul de relativité générale et donne une bonne idée du formalisme que cette théorie utilise.

Nous considérons une première géodésique de référence de l'espace-temps suivie par une particule libre dont les coordonnées xα sont données en fonction du temps propre τ. La dérivée d'une fonction f  le long de cette courbe est donnée par la formule

dans laquelle il est entendu que l'on applique la convention de sommation sur tout indice répété en haut et en bas. C'est grâce à cette convention qu'il est possible de suivre et développer des calculs de relativité générale qui autrement s'avéreraient impossibles à manipuler.

Considérons une seconde géodésique voisine de la première et séparée de celle-ci par la quantité ξα(τ) de sorte que les coordonnées d'une particule le long de cette seconde géodésique sont xα(τ) + ξα(τ). Nous avons vu que la dérivée covariante, c'est-à-dire à transport parallèle, du vecteur séparation ξ est donnée par la formule

L'accélération de la séparation est obtenue en dérivant une nouvelle fois cette équation. Il suffit pour cela de remplacer ξ par Dξ/dτ, ce qui donne

En regroupant des termes identiques car impliquant une même sommation sur les indices muets, comme par exemple

on obtient de façon plus explicite

Nous utilisons maintenant l'équation d'une géodésique

pour éliminer la dérivée de uβ et l'équation résultant de la différence entre deux géodésiques voisines

pour éliminer la dérivée seconde de ξα. On arrive ainsi à la formule

Les termes en (dξα/dτ) se sont annulés. En regroupant les termes identiques, on obtient la formule finale suivante donnant l'accélération de la séparation de deux géodésiques voisines :

Nous avons donc démontré l'équation donnant l'accélération de la séparation entre deux géodésiques, qui traduit la courbure de l'espace-temps, et obtenu en même temps l'expression explicite des composantes du tenseur de Riemann associé à cette courbure.


Christian Magnan

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Dernière modification : 15 mai 2010

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