E = M C 2 ET LES TROUS NOIRS




Où l'on apprend d'où vient la fameuse formule d'Einstein E = m c 2 et pourquoi les trous noirs s'effondrent inexorablement sur eux-mêmes...

Pour E=mc2 étudier aussi la page"relativité" Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


En relativité, on considère ensemble l'espace et le temps de sorte qu'un événement est défini à la fois par ses coordonnées spatiales et sa coordonnée temporelle et se comporte de ce fait comme un vecteur à quatre composantes, trois pour l'espace, une pour le temps.

Cependant, pour simplifier les notations, nous allons considérer une seule coordonnée spatiale x tout en conservant (évidemment) le temps t.

En mécanique classique, le mouvement d'un mobile est déterminé par sa vitesse, qui mesure, on le sait, le taux d'accroissement de x en fonction de t. On dit que la vitesse est la dérivée, notée dx/dt, de l'abscisse x par rapport au temps t.

En relativité, on parlera de la dérivée non plus de l'abscisse seule mais de l'ensemble du vecteur (x,t) par rapport au temps. Par ailleurs, afin de travailler avec la même unité pour le temps et l'espace, il sera commode de remplacer t par ct (c étant la vitesse de la lumière) ce qui revient à introduire le vecteur (x, ct) à la place du vecteur (x, t).

De plus, pour effectuer la dérivation on choisira comme temps le temps propre $\gamma$, le seul qui ne dépende pas du choix des coordonnées et permette donc une définition invariante par changement du système de repérage. La relation entre ce temps propre $\gamma$ (le temps de la «fusée») et le temps terrestre t a été explicité ailleurs (avec, que l'on m'excuse, d'autres notations, à savoir T pour le temps terrestre et F pour celui de la fusée). Il s'agit de


\begin{displaymath}\gamma / t = ( 1 - \beta^2)^{1/2} \ , \ \ \ \beta = v/c \ .
\end{displaymath} (1)

Ce qui va en relativité remplacer la vitesse classique (dx/dt) sera le vecteur $[dx/d\gamma, d(ct)/d\gamma]$, c'est-à-dire:


\begin{displaymath}\hbox{vecteur vitesse relativiste} =
[ v ( 1 - \beta^2)^{-1/2}, c ( 1 - \beta^2)^{-1/2}] \ .
\end{displaymath} (2)

Normalement il s'agit d'un vecteur à quatre composantes. Dans notre modèle simplifié il se réduit à un vecteur à deux dimensions puisque les trois composantes spatiales ont été ramenées à une seule.

Multiplions le vecteur vitesse (2) par la masse m de la particule considérée de façon à obtenir l'analogue relativiste de l'impulsion classique, à savoir le vecteur appelé impulsion-énergie:

\begin{displaymath}\hbox{vecteur impulsion-énergie relativiste} =
[ m v ( 1 - \beta^2)^{-1/2}, mc ( 1 - \beta^2)^{-1/2}] \ .
\end{displaymath} (3)

Dans ce vecteur l'impulsion représente la partie spatiale et l'énergie la partie temporelle (à un facteur c près). Cette décomposition ne doit pas nous surprendre car nous avons vu ailleurs que de même qu'une impulsion p était associée à une position x de même une énergie E était associée à un temps t aussi bien en mécanique classique (où l'action égale px-Et ) qu'en mécanique quantique.

Calculons alors le «carré de la longueur» du vecteur impulsion-énergie (3), cette «longueur» étant prise au sens de la relativité. Nous avons appris en annexe à calculer le carré d'un intervalle comme une différence entre la partie spatiale d 2 et la partie temporelle (ct2. Rappelons que nous avons identifié l'impulsion p avec la première composante (la spatiale), soit

\begin{displaymath}p =
m v ( 1 - \beta^2)^{-1/2} \ .
\end{displaymath} (4)

et l'énergie E - ou plus exactement E/c car ayant remplacé t par ct nous devons écrire le produit Et, le pendant de px, comme (E/c)(ct) - avec la deuxième composante (la temporelle), soit

\begin{displaymath}E/c =
m c ( 1 - \beta^2)^{-1/2} \ .
\end{displaymath} (5)

En élevant au carré les deux membres de ces deux relations et en faisant la différence, il vient immédiatement

\begin{displaymath}p^2 - (E^2/c^2) = - m^2 c^2 \ .
\end{displaymath} (6)

Nous en déduisons la célèbre formule

\begin{displaymath}E = \left(m^2 c^4 + p^2 c^2\right)^{1/2} \equiv m c^2 \left( 1 + \frac{p^2}{m^2 c^2}\right)^{1/2}
\end{displaymath} (7)

qui donne l'énergie d'une particule de masse m et d'impulsion p et qui nous montre qu'une masse au repos, donc d'impulsion nulle (p=0) possède une certaine énergie, la fameuse

\begin{displaymath}E = m c^2 \ .
\end{displaymath} (8)

La leçon principale de ce qui précède est qu'on ne peut pas dissocier la masse-énergie et la quantité de mouvement d'une particule puisque ce sont respectivement les composantes temporelles et spatiales du même quadri-vecteur impulsion-énergie. Une conséquence importante est que, prises séparément, l'énergie et l'impulsion dépendent du repère dans lequel on les mesure. Au contraire, le carré de la longueur du vecteur, donné par la formule (6) est invariant, puisqu'égal au produit du carré m2 de la masse de la particule par -c2.

C'est cette formule, entre autres, qui conduit au concept de tour noir.

Pour le comprendre, il faut évaluer les modifications à apporter à la théorie de l'annexe relative aux étoiles à neutrons lorsqu'on prend en compte les effets relativistes.

Dans ce document, nous avions estimé l'énergie gravitationnelle d'une étoile de masse M et de rayon R par le terme (GM2/R), G étant la constante de Newton Mais M ne contenait que la somme des masses au repos de toutes les particules (les neutrons, en nombre N). Or dès lors que ces particules sont animées de vitesse d'agitation, il faut ajouter à cette masse l'équivalent massique de la quantité de mouvement correspondante.

Calculons cette masse supplémentaire.

D'après les formules de la mécanique quantique, à la distance interparticulaire moyenne a = R/N1/3, correspond une quantité de mouvement

\begin{displaymath}p = \hbar/a = \hbar N^{1/3} / R \ ,
\end{displaymath} (9)

$\hbar$ étant la constante de Planck divisée par $2\pi$.

En vertu de l'équation (7), qui s'écrit pour un neutron de masse mH comme

\begin{displaymath}E = m_H c^2 \left[ 1 + (p^2/m_H^2 c^2)\right]^{1/2} \ ,
\end{displaymath} (10)

il faut modifier les formules non relativistes en multipliant la masse au repos mH qu'elles contiennent par la quantité entre crochet de cette expression (10). En tenant compte de la valeur de p donnée par la formule (9), ce crochet prend la forme

\begin{displaymath}\left[ 1 + (\hbar / c m_H)^2 (N^{2/3} / R^2)\right]^{1/2} \ .
\end{displaymath} (11)

Voici venir le dénouement.

À cause de la modification faite sur la masse M classique, l'énergie gravitationnelle GM2/R  va voir son facteur 1/R remplacé par l'expression

\begin{displaymath}1/R + k/R^3 \ \ \ \hbox{avec} \ \ \ k=\hbar N^{1/3}/ c m_H \ .
\end{displaymath} (12)

C'est le terme en 1/R3 de cette formule qui change du tout au tout le comportement des solutions. Alors qu'auparavant, en l'absence de 1/R3 le terme en 1/R2 de répulsion quantique pouvait s'opposer à la gravitation, cela est désormais impossible car l'énergie totale ne présente plus la valeur minimale qui conduisait à un état de stabilité. Au contraire, lorsque le rayon R diminue l'énergie passe maintenant par un maximum pour décroître ensuite sans limite.

La conclusion est inéluctable: si l'étoile vient à franchir le seuil fatidique, plus rien ne pourra arrêter sa chute sur elle-même! Un trou noir s'est formé...

ANNEXE

Par souci d'être complet et pour permettre des calculs effectifs, voici en résumé l'expression de l'énergie U d'une particule neutronique dans une étoile hypercondensée. Elle est tirée des formules ci-dessus et de celles de l'annexe sur les étoiles à neutrons. On peut écrire

\begin{displaymath}U = \frac{A}{R^2} -\frac{B}{R} -\frac{C}{R^3}
\end{displaymath} (13)

avec

\begin{eqnarray*}&&A = \hbar^2 N^{2/3} / (2 m_H) \\
&&B = G N m_H^2 \\
&&C = \hbar G N^{4/3} m_H/c \ .
\end{eqnarray*}


Numériquement, pour une étoile de 3 masses solaires, on trouve
A= $7,8\times10^7$ erg cm2 ,
B= $6,7\times10^2$ erg cm,
C= $2,1\times10^8$ erg cm3.

Terminons le calcul (1). Il est facile de trouver la condition pour que l'énergie U donnée par la formule (13) présente un minimum : il suffit pour cela d'écrire que la dérivée de U par rapport à (1/R) (laquelle est un simple trinôme du second degré) puisse s'annuler. Mais cette condition fixe physiquement la limite au-dessus de laquelle une étoile ne pourra pas résister à l'effondrement gravitationnel, c'est-à-dire la limite de Chandrasekhar. Numériquement, la condition d'existence d'un minimum s'écrit A2 = 3 B C et fournit l'estimation N = 3,4×1056 qui correspond à une masse de 0,3 masse solaire. La vraie masse de Chandrasekhar étant d'environ 1,4 masse solaire, notre estimation est 5 fois trop faible (soit un facteur d'en gros 4/3) mais compte tenu du caractère très rudimentaire du calcul ce résultat peut être tenu pour remarquable  !


NOTE

  1. Ce paragraphe est issu des remarques constructives d'un lecteur attentif, qui avait par ailleurs décelé une erreur (maintenant corrigée !) dans la formule (12), et que je remercie ici bien vivement.



D'après un extrait du livre de Christian Magnan,
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)


Pour fabriquer ce document, j'ai utilisé le traducteur LaTeX2HTML Version 98.1p1 (March 2nd, 1998)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.


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Dernière modification : 25 août 2009