LA STRUCTURE DE L'ATOME D'HYDROGÈNE      




Découvrez le calcul à la main de la structure de l'atome d'hydrogène...


Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II


Ce n'est qu'une première version, veuillez en pardonner les imperfections... je pars en  

Pour examiner les propriétés d'un électron lié à un proton (système qui constitue l'atome d'hydrogène), le physicien résout l'équation de Schrödinger dans le champ de potentiel

\begin{displaymath}V = - e^2 / r \end{displaymath} (1)

e est la charge de l'électron et r la coordonnée radiale.

Nous nous proposons ici d'exprimer en termes simples et en ordre de grandeur les principaux résultats de la théorie, théorie qu'il n'est évidemment pas question de développer ici de façon complète alors que des ouvrages entiers sont nécessaires pour la décrire.

L'énergie cinétique  (1/2) m v2  d'une particule de masse m et de vitesse  v  s'écrit également  p2/ 2m  en introduisant l'impulsion  p=mv  de la particule. Nous avons vu ailleurs que la mécanique quantique associe à l'impulsion  p  la longueur caractéristique $\lambda = \hbar/p $ (c'est la formule (12) de l'autre annexe), où $\hbar$ est la constante de Planck divisée par $2\pi$.

Par conséquent la correspondance entre énergie cinétique prend la forme

\begin{displaymath}E_{\mathrm{cin}} \Longrightarrow \hbar^2/(2m\lambda^2) \end{displaymath} (2)

La caractère positif ou négatif de ce terme est d'une importance capitale dans le raisonnement car il permet de distinguer deux comportements radicalement différents dans le comportement de la fonction d'onde $\psi$ (psi), fonction dont nous cherchons la valeur.

Lorsque le terme est positif, la fonction $\psi$ présente des oscillations caractérisées par une longueur d'onde dont l'ordre de grandeur est précisément la quantité $\lambda$ donnée par la relation (2). Nous écrivons explicitement

\begin{displaymath}E_{\mathrm{cin}} = \hbar^2/(2m\lambda^2) \ . \end{displaymath} (3)

Lorsque le terme est négatif, la fonction $\psi$ varie au contraire de façon continue, en croissant ou décroissant régulièrement sans passer par des maxima ou minima. En fait la fonction montre un comportement exponentiel, c'est-à-dire de type « $\mathrm{e}^{-r/\lambda}$», où $\lambda$ fixe à nouveau l'échelle de variation de $\psi$. Dans ce deuxième cas nous écrivons l'«énergie cinétique» (ou plus exactement le terme qui correspond à l'énergie cinétique) comme

\begin{displaymath}E_{\mathrm{cin}} = - \hbar^2/(2m\lambda^2) \ . \end{displaymath} (4)

Ramenée à des ordres de grandeur (autrement dit traduite en quantités caractéristiques), l'équation de Schrödinger exprime que l'énergie totale  E  est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Nous écrivons donc:

\begin{displaymath}E = \pm \hbar^2/(2m\lambda^2) - e^2/r \end{displaymath} (5)

en choisissant le signe convenable selon le cas.

La solution présente deux zones distinctes. À l'infini, loin du centre attracteur que constitue le proton, le terme dû à ce dernier est forcément négligeable. Si l'énergie totale est positive, cela signifie physiquement que l'électron possède une certaine vitesse non nulle à l'infini et que par conséquent il n'est pas lié au proton. Ce cas ne nous concerne pas ici car il correspond à un atome en quelque sorte «brisé» (on dit ionisé), c'est-à-dire un atome dont les deux particules constituantes sont isolées l'une de l'autre.

Si l'énergie est négative il s'agit au contraire d'un état de l'atome dit «lié». Dans ce cas la fonction a un comportement exponentiel déjà évoqué, en $\mathrm{e}^{-r/\lambda}$, caractérisé par une échelle de longueur $\lambda$. L'énergie correspondante est alors donnée par la formule (4) que nous recopions:

\begin{displaymath}E = - \hbar^2/(2m\lambda^2) \ . \end{displaymath} (6)

Deuxième région: au voisinage du proton. Comme la fonction $\psi$ doit s'annuler à l'origine (on impose cette condition physique), elle doit forcément se «retourner», c'est-à-dire passer par un maximum (au moins un, mais peut-être plus). Dans cette zone, le comportement est donc grossièrement oscillatoire avec une énergie totale égale à

\begin{displaymath}E = \hbar^2/(2ml^2) - e^2/r \end{displaymath} (7)

où  l  est une longueur d'onde dont nous allons déterminer la valeur à l'instant.

Intéressons-nous au premier maximum qui se présente à compter de l'origine (où, rappelons-le la fonction $\psi$ est nulle). Il est clair qu'à ce premier maximum, situé à la distance  r , l'échelle de longueur de l'oscllation de $\psi$ est précisément  r . En conséquence, l'équation (7) devient (il suffit de remplacer  r  par  l ) :

\begin{displaymath}E = \hbar^2/(2ml^2) - e^2/l \end{displaymath} (8)

Montrons que cette équation fixe la distance  l  du premier maximum et donc fixe la longueur de l'oscillation de $\psi$ (il s'agit toujours d'un calcul d'ordres de grandeur!).

L'expression située dans le membre de droite de l'équation  (8)  varie de la façon suivante: elle est positive et tend vers l'infini lorsque  l  tend vers 0 puis, décroissant lorsque  l  croît, elle s'annule pour la valeur

\begin{displaymath}l_0 = \hbar^2/(2me^2) \ . \end{displaymath} (9)

Comme le montrent de faciles calculs, l'expression passe ensuite par un minimum

\begin{displaymath}E_{\mathrm{min}} = - me^4/(2\hbar^2) \end{displaymath} (10)

lorsque  l  prend la valeur

\begin{displaymath}a = \hbar^2/(me^2) \end{displaymath} (11)

On constate que  a = 2 l0 .

Comme nous voulons que l'énergie soit négative, ces résultats impliquent que (toujours en ordre de grandeur!),  l  est en gros compris entre  a/ 2  et  a . Disons que  l  est de l'ordre de grandeur de  a  et (pour obtenir plus loin des formules qui se révèleront justes) écrivons exactement

\begin{displaymath}l = a = \hbar^2/(me^2) \ . \end{displaymath} (12)

Rappelons que  l  représente la longueur d'onde de l'oscillation de la fonction d'onde $\psi$ au voisinage du proton central. On peut interpréter physiquement ce résultat en disant que la position du premier maximum de la fonction d'onde représente une sorte de «rayon» atomique. Nous avons donc réussi à calculer, oh miracle, le rayon de l'atome d'hydrogène, dont nous sommes fiers de redonner la valeur:

\begin{displaymath}a = \hbar^2/(me^2) \ . \end{displaymath} (13)

Numériquement, a = 0,53×10-8 cm ou 0,53 Å (le rayon d'un atome est donc de l'ordre de l'angstrom).

Il est bon de remarquer que ce «rayon» n'a rien d'un rayon classique, comme si par exemple l'électron tournait sur une orbite de rayon  a . Nous parlons d'onde avant tout et par conséquent le concept de rayon n'est pas particulièrement bien adapté. En revanche le concept de longueur d'onde l'est bien et par conséquent notre raisonnement tient la route!

Faisons le point. Loin du proton, la fonction d'onde $\psi$ possède un comportement exponentiel de longueur caractéristique $\lambda$, longueur à laquelle correspond l'énergie  E  donnée par la formule (6). Au voisinage du proton la fonction $\psi$ a au contraire un comportement oscillant, la longueur d'onde de l'oscillation étant fixée à la valeur  a  de la formule (12) (que l'on peut appeler rayon de l'atome).

Pour terminer de résoudre le problème,il nous faut assurer le raccordement entre les deux régions que nous avons traitées indépendamment l'une de l'autre. Je répète que je ne prétends pas avec les raisonnements élémentaires que je développe démontrer quoi que ce soit. Mais je peux exprimer comment va se traduire grossièrement la condition de raccordement.

Tout d'abord ce raccordement s'effectue nécessairement non loin d'un point «moyen» de la fonction exponentielle, c'est-à-dire à une distance de l'origine voisine de la longueur caractéristique $\lambda$. En effet, il faut que ce point ne soit situé ni trop près (seule la solution centrale compte) ni trop loin (la fonction a une valeur négigeable). D'autre part, en ce point l'autre partie (centrale) de la fontion aura effectué  n  oscillations de longueur  a .

Tant qu'il s'agit d'ordre de grandeur nous écrirons l'égalité entre ces deux longueurs, soit:

\begin{displaymath}\lambda = na = n \hbar^2/(me^2) \ . \end{displaymath} (14)

On peut décrire la situation d'une autre manière. Si l'on poursuivait au voisinage du proton la solution venant de l'infini avec une longueur caractéristique $\lambda$ quelconque, cette solution manquerait à tous les coups le centre (où la fonction doit s'annuler) sauf pour certaines valeurs, à savoir celles de la formule (14). Nous avons un bel exemple de quantification dans le fait que les solutions acceptables pour la fonction $\psi$ forment un ensemble discret et que par conséquent le passage de l'une à l'autre ne peut s'effecuer que de façon discontinue.

En combinant les formules (14) et (6), nous obtenons l'énergie totale du système en fontion du nombre entier  n  sous la forme

\begin{displaymath}E = - { \hbar^2\over 2 m a^2} {1\over n^2} \end{displaymath} (15)

ou encore, d'après les formules (10) et (13),

E = Emin/n2 (16)

avec

\begin{displaymath}E_{\mathrm{min}} = - me^4/(2\hbar^2) \end{displaymath} (17)

Cette énergie est parfois prise pour unité d'énergie et porte alors le nom de « Rydberg ». En astrophyque on a parfois l'habitude (mauvaise ?) d'exprimer les énergies en électron-volt (eV). Dans cette unité on a Emin = 13,6 eV. En unités plus courantes, Emin = 2,18×10-11 erg.

La formule (16), d'une importance considérable dans l'histoire de la science du XXe siècle, est exacte. Mais je me suis certes arrangé, en combinant convenablement les facteurs numériques et les ordres de grandeurs, pour l'obtenir exacte alors que le raisonnement illustratif ne prétendait évidemment pas y conduire à coup sûr.

Enfin, si vous êtes curieux, allez voir pourquoi, bien qu'au départ les équations soient les mêmes, un petit « détail » fait qu'un trou noir s'effondre inexorablement sur lui-même alors que l'atome d'hydrogène est stable.



D'après un extrait du livre de Christian Magnan,
La nature sans foi ni loi,
Éditions Belfond/Sciences (1988)
 


Pour fabriquer ce document, j'ai utilisé le traducteur LaTeX2HTML Version 98.1p1 (March 2nd, 1998)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.


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Dernière modification : 28 juillet 2000